Fisica 2 Moyses vol 2 capítulo 1 questão 3 resolvido

Questão 3

O manômetro de tubo inclinado (Fig. P.3), utilizado para medir pequenas diferenças de pressão, p1-p2, difere do descrito no problema 2 pela inclinação $\theta$ do tubo de diâmetro d. Se o fluido empregado é óleo de densidade $\rho = 0,8 \, g/cm^3$, com $d = 0,5 \, cm$, $D = 2,5 \, cm$, escolha $\theta$ para que o deslocamento l seja de 5 cm quando p1-p2 = 0,001 atm. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.2)

Solução 

Dados do problema

• Diametro $D=2,5\, cm=0,025 \, m$
• Diametro $d=0,5 \, cm=0,005 \, m$
• Diferença de pressão para o deslocamento l $p_1 - p_2 = 0,001 \, atm = 100 \, Pa$
• Deslocamento do fluido $l  =  5 \, cm = 0,05 \, m$
• Nivel de equilibrio ($p_1 = p_2$) $N_0$
• Densidade do fluido $\rho = 0,8 \, g/cm^3 =800 \, kg/m^3$

Assumindo dois pontos A e B no mesmo nível e, por isso, sob a mesma pressão. Assumindo também que o fluido abaixa uma altura H.

A pressão em A e B são $p_A$ e $p_B$ respectivamente. Sabe-se que $p_A = p_1$ e, usando a lei de Stevin na coluna de liquido inclinado, $p_B = p_2 + \rho g \left( h+ H \right)$. Assim, $$p_A = p_B$$ $$p_1 = p_2 + \rho g \left( h+ H \right)$$ $$p_1 - p_2 = \rho g \left( h+ H \right)$$

Sabendo que o volume de fluido que abaixa até a altura H preenche a altura h, pode-se usar a equivalência entre os volumes: $$\pi \dfrac{D^2}{4} H = \pi \dfrac{d^2}{4} l$$ $$D^2H = d^2l$$ $$H = \dfrac{d^2}{D^2}l$$

Usando a seguinte relação $sen (\theta ) = \dfrac{h}{l}$, $h = l sen (\theta )$ e substituindo H e l na equação da diferença de pressão: $$p_1 - p_2 = \rho g \left( l sen( \theta )+ \dfrac{d^2}{D^2}l \right)$$ $$p_1 - p_2 = \rho g l \left( sen( \theta )+ \dfrac{d^2}{D^2} \right)$$

Isolando $sen( \theta )$, $$sen( \theta ) =\dfrac{p_1 - p_2}{\rho g l} - \dfrac{d^2}{D^2}$$

Substituindo os valores: $$sen( \theta ) =\dfrac{100}{800 \cdot 9.8 \cdot 0,05} - \dfrac{0,005^2}{0,025^2}$$ $$sen( \theta ) \approx 0,22$$ $$\theta \approx 12,71^\circ$$

Observação: O método está certo e as contas estão certas, entretanto não sei por que motivo o gabarito deu diferente, apesar de ser "próximo" (Gabarito = $14,4^\circ$).

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Fısica Básica, vol 2, Ed. Edgard Blücher Ltda, 1983.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/nanometro-tubo-inclinado-utilizado-medir-pequenas-diferencas-pressao-difere-descrito-52022) e no Passei Direto (https://www.passeidireto.com/arquivo/1091760/curso-de-fisica-basica-cap-1-estatica-dos-fluidos).

Fisica 2 Moyses vol 2 capítulo 1 questão 2 resolvido

Questão 2

No manômetro de reservatório (Fig. P.2), calcule a diferença de pressão p1-p2 entre os dois ramos em função da densidade $\rho$ do fluido, dos diâmetros d e D, e da altura h de elevação do fluido no tubo, relativamente ao nível de equilíbrio N0 que o fluido ocupa quando p1=p2. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.2)

Solução 

Dados do problema

• Diametro D
• Diametro d
• Altura de descida do fluido H
• Altura de elevação do fluido h
• Nivel de equilibrio ($p_1 = p_2$) $N_0$
• Densidade do fluido $\rho$

Dada a figura do problema, 

Assumindo dois pontos A e B no mesmo nível e, assim, sob a mesma pressão, pode-se dizer que o ponto A esta sob a pressão $p_1$ e o ponto B está sob a pressão $p_2$ mais a pressão da coluna de fluido. Dessa forma, $$p_A = p_B$$ $$p_A = p_1$$ $$p_B = p_2 + \rho g \left( h+H \right)$$ $$p_1 = p_2 + \rho g \left( h + H \right)$$ $$p_1 - p_2 =\rho g \left( h + H \right)$$

Tomando agora que, quando o fluido atinge o nível de equilíbrio, o volume do fluido que desceu até a altura H foi deslocado, subindo para a altura h. Têm-se a equação, obtida da equivalência entre os volumes: $$\pi \dfrac{D^2}{4} H = \pi \dfrac{d^2}{4} h$$ $$D^2 H = d^2 h$$ $$H = \dfrac{d^2}{D^2}h$$

Substituindo H na equação de diferença de pressão: $$p_1 - p_2 =\rho g \left( h + \dfrac{d^2}{D^2} h \right)$$ $$p_1 - p_2 =\rho g h \left( 1 + \dfrac{d^2}{D^2} \right)$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Fısica Básica, vol 2, Ed. Edgard Blücher Ltda, 1983.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/nanometro-reservatorio-calcule-diferenca-pressao-dois-ramos-funcao-densidade-52020) e no Passei Direto (https://www.passeidireto.com/arquivo/1091760/curso-de-fisica-basica-cap-1-estatica-dos-fluidos).

Fisica 2 Moyses vol 2 capítulo 1 questão 1 resolvido

Questão 1

No sistema da Fig. P.1, a porção AC contém mercúrio, BC contém óleo e a porção aberta contém água. As alturas indicadas são: h0 = 10 cm, h1 = 5 cm, h2 = 20 cm e as densidades relativas à da água são: 13,6 (mercúrio) e 0,8 (óleo). Determine a pressão pA no ponto A (em atm). (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.2)

Solução 

Dados do problema

• Altura $h_0 = 10 \, cm = 0,1 \, m$
• Altura $h_1 = 5 \, cm = 0,05 \, m$
• Altura $h_2 = 20 \, cm = 0,2 \, m$
• densidade da água $\rho = 1 \, g/cm^3 = 1000 \, kg/m^3$
• densidade do mercúrio relativa a água $\rho_m = 13,6 \rho$
• densidade do óleo relativa a água $\rho_o = 0,8 \rho$
• gravidade $g = 9,8 \, m/s^2$
• Pressão atmosférica $p_{atm} = 1 \, atm = 100000 \, Pa$

Usando a lei de Stevin entre os pontos A e C, B e C, e B e um ponto na atmosfera, têm-se as seguintes equações:

1. Entre A e C: $p_C - p_A = \rho_m g h_2$
2. Entre B e C: $p_C - p_B = \rho_o g h_1$
3. Entre B e um ponto da atmosfera: $p_B - p_{atm} = \rho g h_0$

Multiplicando a primeira equação por $-1$ e somando as três equações, obtêm-se: $$p_A - p_{atm} = -\rho_m g h_2 + \rho_o g h_1 + \rho g h_0$$

Substituindo os termos lembrando de converte-los para o SI (assim o resultado sairá em Pa): $$p_A - p_{atm} = -13,6 \cdot 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,2 + 0,8 \cdot 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,05 + 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,1$$

$$p_A - p_{atm} = -26656+392+980 \, Pa$$ $$p_A - p_{atm} = -25284 \, Pa$$ $$p_A = 100000- 25284 \, Pa$$ $$p_A = 74716 \, Pa$$

Logo, para converter de Pa para atm, basta dividir $p_a$ por 100000: $$p_A \approx 0,75 \, atm$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Fısica Básica, vol 2, Ed. Edgard Blücher Ltda, 1983.

Conteudos semelhantes no Responde aí (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/sistema-fig-porcao-contem-mercurio-contem-oleo-tanque-aberto-contem-52021) e no Forum PiR2 (https://pir2.forumeiros.com/t151295-fluido)