Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 Questao 6 resolvido

Questão 6 

Um helicóptero, saindo de seu hangar percorre 100m numa pista em direção ao sul, dobrando depois para entrar noutra pista rumo ao leste, de onde, após percorrer mais 100m, levanta vôo verticalmente ,elevando-se a 100 m de altitude. Calcule:(a) A magnitude do deslocamento total (b) O ângulo de elevação ao solo a partir de hangar (c) A direção da projeção sobre o solo do vetor deslocamento total  (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Primeiro deslocamento, rumo ao sul: $ |\vec{a}| = 100 \, m $
• Segundo deslocamento, rumo ao leste: $ |\vec{b}| = 100 \, m $
• Terceiro deslocamento, vertical: $ |\vec{c}| = 100 \, m $

Primeiro, deve-se tomar como base a imagem a baixo.

(a) o deslocamento total do helicóptero pode ser dado por $\vec{R_{2}} = \vec{a} + \vec{b}+ \vec{c}$. Para isso pode-se somar os vetores dois a dois, ou seja, pode-se se fazer a soma $\vec{R_{1}} = \vec{a} + \vec{b}$ e depois $\vec{R_{2}} = \vec{R_{1}} + \vec{c}$.

Para fazer a soma  $\vec{R_{1}} = \vec{a} + \vec{b}$ pode-se usar o teorema de Pitagoras, assim  $$|\vec{R_{1}}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$$ $$|\vec{R_{1}}| = \sqrt{ (100)^2 + (100)^2 }$$ $$|\vec{R_{1}}| = 100\sqrt{2}$$

Em seguida, pode-se fazer a soma $\vec{R_{2}} = \vec{R_{1}} + \vec{c}$ utilizando também o teorema de Pitagoras, assim,  $$|\vec{R_{2}}|^2 = |\vec{R_{1}}|^2 + |\vec{c}|^2$$ $$|\vec{R_{2}}|^2 = (100\sqrt{2})^2 + (100)^2$$ $$|\vec{R_{2}}| = \sqrt{20000+10000}$$ $$|\vec{R_{2}}| = \sqrt{30000}$$ $$ \textbf{a)} \, |\vec{R_{2}}| \approx 173.20 \, m$$

(b) o ângulo da elevação do helicóptero em relação ao solo pode ser obtida descobrindo-se o ângulo entre os vetores $\vec{R_{1}}$ e $\vec{R_{2}}$, sendo $\theta$ o ângulo entre eles. Como o triângulo formado pelos vetores $\vec{R_{1}}$ e $\vec{R_{2}}$ e $\vec{c}$ é um triângulo retângulo, pode-se usar as relações trigonometricas de seno, cosseno e tangente. No caso pode se usar a tangente de $\theta$, assim $$tg(\theta) = \dfrac{|\vec{c}|}{|\vec{R_{1}}|}$$ $$tg(\theta) = \dfrac{100}{100\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\theta = arctg(\dfrac{1}{\sqrt{2}})$$ $$\textbf{b)} \, \theta \approx 35.26 ^\circ$$ 

(c) a projeção sobre o solo do vetor deslocamento total é o vetor $\vec{R_{1}}$. Para obter a direção do vetor, basta obter o ângulo entre a direção sul e o vetor $\vec{R_{1}}$, para isso, pode-se usar o triângulo retângulo formado pelos vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{R_{1}}$ e suas relações trigonometricas. Assim, tomando como base que o angulo entre  $\vec{R_{1}}$ e  $\vec{c}$ é $\alpha$: $$tg(\alpha) = \dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$$ $$tg(\alpha) = \dfrac{100}{100} = 1$$ $$ \alpha = arctan(1) $$ $$\textbf{c)} \, \alpha = 45^\circ$$

Assim, a direção do vetor $\vec{R_{1}}$ é $45^\circ$ em relação ao sul.

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/helicoptero-saindo-hangar-percorre-100-pista-direcao-sul-dobrando-entrar-23995) e no Forum PiR2 (https://pir2.forumeiros.com/t5270-questao-de-vetores).

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 5 resolvido

Questão 5

As latitudes de longitudes de São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte, respectivamente, são as seguintes: São Paulo:23° 33´ S, 46° 39’ O; Rio de Janeiro:22° 53´ S, 43° 17’ O; Belo Horizonte:19° 55’ S, 43° 56’ O. A partir destes dados, (a) Calcule as distâncias entre as três cidades, (b) Em relação a um sistema de coordenadas com origem em São Paulo e eixo das abcissas na direção São Paulo- Rio de Janeiro obtenha o vetor posição de belo Horizonte. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução

Dados do problema

• Latitude de São Paulo: $\theta_{SP} = 23 ^\circ 33' S$
• Longitude de São Paulo: $\phi_{SP} = 46 ^\circ 39' O$
• Latitude do Rio de Janeiro: $\theta_{RJ} = 22 ^\circ 53' S$
• Longitude do Rio de Janeiro: $\phi_{RJ} = 43 ^\circ 17' O$
• Latitude de Belo Horizonte: $\theta_{BH} = 19 ^\circ 55' S$
• Longitude de Belo Horizonte: $\phi_{BH} = 43 ^\circ 56' O$
• Raio da Terra: $R= 6371 \, km$

O exercício forneceu as coordenadas das cidades em coordenadas esféricas, para resolver o problema, deve-se transformar o sistema de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. Para isso, deve-se construir um modelo de conversão, como mostra a figura abaixo:

Assim, tendo o ângulo $\alpha$ e $\beta$ e o raio $R$ pode-se construir o ponto em coordenadas cartesianas em que:

• $x=R cos(\alpha ) sen(\beta ) $
• $y=R sen(\alpha ) sen(\beta ) $
• $z = R sen(\beta )$

No caso do exercício, o angulo de longitude é disposto em direção ao oeste (esquerda do eixo x) e o ângulo de latitude é disposto em direção ao sul (abaixo do plano xy) e devem ser adaptados para o modelo. Para isso, basta subtrair o ângulo de $360 ^\circ$ do ângulo da cidade, assim, $\alpha = 360 ^\circ - \phi$ e $\beta = 360 ^\circ - \theta$.

Dessa forma, as coordenadas das cidades são:

• Rio de Janeiro: $RJ = (4009.14,-4246.97, -2545.53)$
• São Paulo: $SP = (4272.90,-4024.23, -2477.40)$
• Belo Horizonte: $BH = (4313.64,-4155.95, -2170.30)$

Dessa forma, para descobrir a distância entre uma cidade e outra basta descobrir qual a distância entre os pontos da seguinte forma:

• Ponto 1 $P1 = (x_1,y_1,z_1)$
• Ponto 2 $P2 = (x_2,y_2,z_2)$

A distância entre os pontos $P1$ e $P2$ é $d = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$

Assim:

a)

• Distância Rio de Janeiro-São Paulo: $351,88 \, km$
• Distância São Paulo-Belo Horizonte: $491,73 \, km$
• Distância Rio de Janeiro-São Paulo: $336,63 \, km$

Contudo, as respostas obtidas não coincidem com as do livro. Porém, procurando as coordenadas no Google Maps, pode-se medir as distâncias dos pontos dados

Distância São Paulo até Rio de Janeiro

Distância São Paulo até Belo Horizonte

Distância Rio de Janeiro até Belo Horizonte

Como podem ver, as respostas encontradas são muito parecidas:

Distância Rio de Janeiro-São Paulo: $351,93 \, km$

Distância São Paulo-Belo Horizonte: $491,86 \, km$

Distância Rio de Janeiro-São Paulo: $336,67 \, km$

(b) Deve-se encontrar os vetores São Paulo-Belo Horizonte $\overrightarrow{SP,BH}$ e São Paulo-Rio de Janeiro $\overrightarrow{SP,RJ}$, para isso, basta subtrair os pontos.

• $\overrightarrow{SP,BH} = BH - SP = (263.76, 222.73, 68.13)$
• $\overrightarrow{SP,RJ} = RJ - SP = (304.50,91.02,375.23)$

Para encontrar o ângulo entre eles $\Omega$ deve-se usar a seguinte equação: $$cos(\Omega ) = \dfrac{\overrightarrow{SP,BH} \cdot \overrightarrow{SP,RJ}}{|\overrightarrow{SP,BH}| |\overrightarrow{SP,RJ}|} = 0.73 \Rightarrow \Omega = 43.19 ^\circ$$

O modulo do vetor $\overrightarrow{SP,BH}$ é $491,73 \, km$

Assim, o vetor posição de Belo Horizonte tem modulo $491,73 \, km$ e ângulo $\Omega = 43.19 ^\circ$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Imagens tiradas do Google Maps

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/latitudes-longitudes-sao-paulo-rio-janeiro-belo-horizonte-respectivamente-sao-23991) e no Forum PiR2 (https://pir2.forumeiros.com/t46071-vetores#:~:text=As%20latitudes%20de%20longitudes%20de,%2C%2043%C2%B0%2056'%20O.).

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 4 resolvido

Questão 4

As magnitudes de a e b são iguais. Qual é o angulo entre a + b e a - b?  (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Vetor genérico $\vec{a}$
• Vetor genérico $\vec{b}$
• $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

O cosseno do ângulo entre o vetor soma e o vetor subtração, denominado como $\theta$, pode ser obtido por meio da equação: $$cos(\theta) = \dfrac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a} - \vec{b}|}$$

Usando a propiedade distributiva do produto escalar, têm-se que: $$cos(\theta) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a} - \vec{b}|}$$

Sabendo que: $$ \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \ \ e \ \  \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 $$

Como $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ então: $$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$$

Da propriedade comutativa do produto escalar $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

Logo, $$cos(\theta) = 0 \Rightarrow \theta = 90 ^\circ$$

Assim, o ângulo entre o vetor $\vec{a} + \vec{b}$ e o vetor $\vec{a} - \vec{b}$ é $90 ^\circ$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/magnitudes-sao-iguais-angulo-23990) e no Passei Direto (https://www.passeidireto.com/arquivo/26144757/moyses-nussensveig-vol-1-resolucao/5).

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 3 resolvido

Questão 3

Mostre que a magnitude da soma de dois vetores a e b está sempre compreendida entre os limites $$||\vec{a}|-|\vec{b}|| \leq |\vec{a}+\vec{b}| \leq |\vec{a}|+|\vec{b}|$$
Em que situação são atingidos os valores extremos? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Vetor genérico $\vec{a}$
• Vetor genérico $\vec{b}$

Tendo como base que o ângulo entre os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ é $\theta$, o vetor soma $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$ respeita a equação: $$|\vec{s}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|  cos(\theta)$$

Isolando $cos(\theta)$: $$cos(\theta) = \dfrac{|\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$

Substituindo o $cos(\theta )$ em: $$-1 \leq cos(\theta) \leq 1$$ $$-1 \leq \dfrac{|\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|} \leq 1$$

O modulo de qualquer vetor é sempre positivo, logo, pode-se multiplicar toda a inequação por $2 |\vec{a}| |\vec{b}|$. Assim: $$ - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \leq |\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 \leq 2 |\vec{a}| |\vec{b}| $$

Somando $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$ em toda a inequação: $$|\vec{a}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| +|\vec{b}|^2 \leq |\vec{s}|^2 \leq |\vec{a}|^2+ 2 |\vec{a}| |\vec{b}| +|\vec{b}|^2$$

Substituindo os seguintes produtos notáveis: $$(|\vec{a}|-|\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| +|\vec{b}|^2 $$ $$(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| +|\vec{b}|^2 $$ Têm-se que: $$(|\vec{a}|-|\vec{b}|)^2 \leq |\vec{s}|^2 \leq (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2$$

Pode-se aplicar a raiz quadrada em todos os termos da equação, lembrando que $\sqrt{x^2} = |x|$ $$||\vec{a}|-|\vec{b}|| \leq ||\vec{s}|| \leq ||\vec{a}|+|\vec{b}||$$

Como a soma de dois termos maiores que 0 é sempre maior que zero, $||\vec{a}|+|\vec{b}|| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ e lembrado da definição de $\vec{s}$ como soma dos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$: $$||\vec{a}|-|\vec{b}|| \leq |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}|+|\vec{b}|$$

Com isso é possível notar que o modulo do vetor soma $\vec{s}$ possui dois extremos:

• Extremo máximo de $|\vec{s}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$
• Extremo mínimo de $|\vec{s}| = ||\vec{a}| + |\vec{b}||$ 

Substituindo o extremo máximo na equação:

$$cos(\theta) = \dfrac{|\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$ $$ cos(\theta) = \dfrac{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$ $$ cos(\theta) = \dfrac{2 |\vec{a}| |\vec{b}|}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|} =1$$ Assim,  $$\theta = 0 ^\circ$$

Ou seja, o vetor soma atinge seu valor máximo se os dois vetores tiverem mesma direção e sentido (orientações iguais).

Substituindo o extremo mínimo na equação: $$cos(\theta) = \dfrac{|\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$ $$cos(\theta) = \dfrac{(|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$ $$cos(\theta) = \dfrac{ - 2 |\vec{a}| |\vec{b}|}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|} = - 1$$ Assim, $$\theta = 180 ^\circ$$

Ou seja, o vetor soma atinge seu valor mínimo se os dois vetores tiverem mesma direção e com sentidos opostos (orientações opostas).

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 2 resolvido

Questão 2 

Um avião a jato voa para o norte, de Brasilia até Belém, a 1630 km de distância, levando 2h 10 min nesse percurso. De lá, segue para oeste, chegando a Manaus, distante 1290 km de Belém, após 1h 50 min de vôo. (a) Qual é o vetor deslocamento total do avião? (b) Qual é o vetor velocidade média do trajeto Brasilia - Belém? (c) Qual é o vetor velocidade média no trajeto Brasilia-Manaus? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Distância Brasilia - Belém: $1630 \, km$
• Tempo de percurso Brasilia - Belém: $2\, h \, 10 \, min = 2,1\overline 6$
• Distância Belém - Manaus: $1290 \, km$
• Tempo de percurso Belém - Manaus: $1\, h \, 50 \, min = 1,8\overline 3$

A disposição das cidades segue como na imagem:

O vetor deslocamento total do avião é a soma dos vetores deslocamento de Brasilia Belém, assim o modulo do vetor deslocamento total é obtido a partir do teorema de Pitagoras, sendo $\vec{a} \, , |\vec{a}| = 1630 \, km$ o deslocamento do avião de Brasilia até Belém, $\vec{b} \, , |\vec{b}| = 1290 \, km$ o deslocamento do avião de Belém até Manaus e $\vec{s}$ o deslocamento total do avião, assim: $$\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$$ $$|\vec{s}|^2 =|\vec{a}|^2 +|\vec{b}|^2$$ $$|\vec{s}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 +|\vec{b}|^2}$$ $$|\vec{s}| = \sqrt{4321000}$$ $$\textbf{a)} \, |\vec{s}|  = 2078,70 \, km$$

O ângulo entre o vetor $\vec{s}$ e o norte pode ser obtido por meio do arco tangente entre o modulo do vetor $\vec{b}$ e o modulo do vetor $\vec{a}$, assim: $$\theta = arctan \left( \dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\right)$$ $$\theta = 38,36 ^\circ \ em \ relação \ ao \ norte$$

O vetor velocidade média tem mesma direção e sentido do vetor deslocamento, o modulo do vetor velocidade média é obtido por meio da divisão entre o modulo do vetor deslocamento e o tempo decorrido, assim, sendo o vetor velocidade média no trajeto Brasilia - Belém como $\vec{v_{(b)}}$ e o vetor velocidade média no trajeto Brasilia - Manaus como $\vec{v_{(c)}}$.

Assim, $$\textbf{b)} \, |\vec{v_{(b)}}|= \dfrac{1690}{2,1\overline 6} = 752,31 \, \dfrac{km}{h} \\ \vec{v_{(b)}} : \ 0 ^\circ \ em \ relação \ ao \ norte$$  $$\textbf{c)} \, |\vec{v_{(c)}}|= \dfrac{2078,70}{2,1\overline 6 + 1,8 \overline 3} = 519,675 \, \dfrac{km}{h} \\ \vec{v_{(c)}} : \ 38,36 ^\circ \ em \ relação \ ao \ norte$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/aviao-jato-voa-norte-brasilia-ate-belem-1630-km-distancia-23989) e no Brainly (https://brainly.com.br/tarefa/3902474).

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 1 resolvido

Questão 1

No problema do caçador e do macaco (Seç. 3.1), mostre analiticamente que a bala atinge o alvo, e calcule em que instante isso ocorre, para uma dada distância $d$ entre eles e altura $h$ do galho, sendo $v_{0}$ a velocidade inicial da bala. Interprete o resultado. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Altura $h$ do macaco
• Distancia $d$ do macaco
• Velocidade inicial da bala $v_0$
• Aceleração da gravidade $g$

Primeiro, deve-se descobrir em que instante a bala percorre a distância $d$. Sabendo que a bala descreve um movimento uniforme na horizontal com velocidade $v_0 \cdot cos(\theta)$ e que o instante em que a bala atinge o macaco é $t$, têm-se que: $$v_0 \cdot cos(\theta) \cdot t = d$$ $$t = \dfrac{d}{v_0 \cdot cos(\theta)}$$

Feito isso, deve-se descobrir a altura da bala $h_b$ no instante $t$. Sabe-se que a bala descreve um movimento uniformemente variado com aceleração $g$ para baixo, a altura da bala pode ser descrita por meio da equação horária da posição: $$h_b = 0 + v_0 \cdot sen(\theta) \cdot t - \dfrac{g \cdot t^2}{2}$$

Substituindo $t$ em $h_b$: $$h_b= d \cdot tg(\theta) - \dfrac{g\cdot d^2}{2\cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}$$

Em seguida, deve-se descobrir a que altura o macaco está. Sabendo que o macaco descreve um movimento uniformemente variado com aceleração $g$ para baixo, a altura do macaco pode ser descrita por meio da equação horária da posição, tomando $h_m$ como a altura do macaco no instante t: $$h_m = h - \dfrac{g \cdot t^2}{2}$$

Substituindo $t$ em $h_m$: $$h_m = h - \dfrac{g\cdot d^2}{2 \cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}$$

Para provar que a bala atinge o macaco no instante $t$ basta provar que a bala e o macaco estão na mesma posição, ou seja, que eles estão na mesma altura em relação ao atirador. Portanto, provar que a bala atinge o macaco implica na seguinte igualdade: $h_b=h_m$

Têm-se ainda a seguinte relação no triangulo retângulo formado entre a altura $h$ e a distância $d$

Usando o teorema de Pitagoras, têm-se que:$$c^2 = d^2 +h^2$$ $$c=\sqrt{d^2+h^2}$$

Usando as relações trigonométricas, têm-se que:

$$sen(\theta ) = \dfrac{h}{c} = \dfrac{h}{\sqrt{d^2+h^2}}$$

$$cos(\theta ) = \dfrac{d}{c} = \dfrac{d}{\sqrt{d^2+h^2}}$$

$$tg(\theta ) = \dfrac{h}{d}$$

Da ultima relação: $$h=d\cdot tg(\theta ) $$

Substituindo em $h_m$: $$h_m = d\cdot tg(\theta ) - \dfrac{g\cdot d^2}{2\cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}$$

Assim, $$h_m = h_b \Rightarrow a \ bala \ atinge \ o \ macaco$$

Para descobrir o instante em que a bala atinge o macaco, basta substituir $cos(\theta )$ em $t$ $$t = \dfrac{d}{v_0 \cdot cos(\theta)}$$ $$t = \dfrac{d}{v_0 \cdot  \dfrac{d}{\sqrt{d^2+h^2}}}$$ $$t = \dfrac{\sqrt{d^2+h^2}}{v_0}$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/problema-macaco-cacador-secao-31-mostre-analiticamente-bala-atinge-alvo-23988) e no Forum PiR2 (https://pir2.forumeiros.com/t105539-terceiro-capitulo-fisica-1-moyses-nussenzveig).