Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 Questao 6 resolvido

Questão 6 

Um helicóptero, saindo de seu hangar percorre 100m numa pista em direção ao sul, dobrando depois para entrar noutra pista rumo ao leste, de onde, após percorrer mais 100m, levanta vôo verticalmente ,elevando-se a 100 m de altitude. Calcule:(a) A magnitude do deslocamento total (b) O ângulo de elevação ao solo a partir de hangar (c) A direção da projeção sobre o solo do vetor deslocamento total  (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Primeiro deslocamento, rumo ao sul: $ |\vec{a}| = 100 \, m $
• Segundo deslocamento, rumo ao leste: $ |\vec{b}| = 100 \, m $
• Terceiro deslocamento, vertical: $ |\vec{c}| = 100 \, m $

Primeiro, deve-se tomar como base a imagem a baixo.

(a) o deslocamento total do helicóptero pode ser dado por $\vec{R_{2}} = \vec{a} + \vec{b}+ \vec{c}$. Para isso pode-se somar os vetores dois a dois, ou seja, pode-se se fazer a soma $\vec{R_{1}} = \vec{a} + \vec{b}$ e depois $\vec{R_{2}} = \vec{R_{1}} + \vec{c}$.

Para fazer a soma  $\vec{R_{1}} = \vec{a} + \vec{b}$ pode-se usar o teorema de Pitagoras, assim  $$|\vec{R_{1}}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$$ $$|\vec{R_{1}}| = \sqrt{ (100)^2 + (100)^2 }$$ $$|\vec{R_{1}}| = 100\sqrt{2}$$

Em seguida, pode-se fazer a soma $\vec{R_{2}} = \vec{R_{1}} + \vec{c}$ utilizando também o teorema de Pitagoras, assim,  $$|\vec{R_{2}}|^2 = |\vec{R_{1}}|^2 + |\vec{c}|^2$$ $$|\vec{R_{2}}|^2 = (100\sqrt{2})^2 + (100)^2$$ $$|\vec{R_{2}}| = \sqrt{20000+10000}$$ $$|\vec{R_{2}}| = \sqrt{30000}$$ $$ \textbf{a)} \, |\vec{R_{2}}| \approx 173.20 \, m$$

(b) o ângulo da elevação do helicóptero em relação ao solo pode ser obtida descobrindo-se o ângulo entre os vetores $\vec{R_{1}}$ e $\vec{R_{2}}$, sendo $\theta$ o ângulo entre eles. Como o triângulo formado pelos vetores $\vec{R_{1}}$ e $\vec{R_{2}}$ e $\vec{c}$ é um triângulo retângulo, pode-se usar as relações trigonometricas de seno, cosseno e tangente. No caso pode se usar a tangente de $\theta$, assim $$tg(\theta) = \dfrac{|\vec{c}|}{|\vec{R_{1}}|}$$ $$tg(\theta) = \dfrac{100}{100\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\theta = arctg(\dfrac{1}{\sqrt{2}})$$ $$\textbf{b)} \, \theta \approx 35.26 ^\circ$$ 

(c) a projeção sobre o solo do vetor deslocamento total é o vetor $\vec{R_{1}}$. Para obter a direção do vetor, basta obter o ângulo entre a direção sul e o vetor $\vec{R_{1}}$, para isso, pode-se usar o triângulo retângulo formado pelos vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{R_{1}}$ e suas relações trigonometricas. Assim, tomando como base que o angulo entre  $\vec{R_{1}}$ e  $\vec{c}$ é $\alpha$: $$tg(\alpha) = \dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$$ $$tg(\alpha) = \dfrac{100}{100} = 1$$ $$ \alpha = arctan(1) $$ $$\textbf{c)} \, \alpha = 45^\circ$$

Assim, a direção do vetor $\vec{R_{1}}$ é $45^\circ$ em relação ao sul.

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

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