Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 4 resolvido

Questão 4

As magnitudes de a e b são iguais. Qual é o angulo entre a + b e a - b?  (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Vetor genérico $\vec{a}$
• Vetor genérico $\vec{b}$
• $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

O cosseno do ângulo entre o vetor soma e o vetor subtração, denominado como $\theta$, pode ser obtido por meio da equação: $$cos(\theta) = \dfrac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a} - \vec{b}|}$$

Usando a propiedade distributiva do produto escalar, têm-se que: $$cos(\theta) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a} - \vec{b}|}$$

Sabendo que: $$ \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \ \ e \ \  \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 $$

Como $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ então: $$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$$

Da propriedade comutativa do produto escalar $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

Logo, $$cos(\theta) = 0 \Rightarrow \theta = 90 ^\circ$$

Assim, o ângulo entre o vetor $\vec{a} + \vec{b}$ e o vetor $\vec{a} - \vec{b}$ é $90 ^\circ$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

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