Questão 8
O sinal amarelo num cruzamento fica ligado durante 3s. A largura do cruzamento é de 15m. A aceleração máxima de um carro que se encontra a 30m do cruzamento quando o sinal muda para amarelo é de 3m/s^2 e ele pode ser freiado a 5m/s^2. Que velocidade mínima o carro precisa ter na mudança do sinal para amarelo a fim de que possa atravessar no amarelo? Qual é a velocidade máxima que ainda lhe permite parar antes de atingir o cruzamento? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)Solução
Dados do problema
- Tempo do sinal $t=3\, s$
- largura do cruzamento $l=15\, m$
- Distancia até o cruzamento $d=30\, m$
- Aceleração no sentido da velocidade $a=3 \, m/s^2$
- Aceleração no sentido contrario ao da velocidade $a=5 \, m/s^2$
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| montagem do problema |
Para o carro atravessar o sinaleiro no amarelo ele deve acelerar no máximo possível $a=3 \, m/s^2$. Como a aceleração é constante, pode-se usar a equação horária da posição, dada por $x = x_0 + v_0t+\dfrac{at^2}{2}$, com $x_0=0$, $x=45\, m$, $t = 3\, s$ e $v_0 = v_{minima}$. Assim, $$45 = v_{minima}3+13,5$$ $$v_{minima} = 10,50 \, m/s = 37,80 \, km/h$$
Para o carro parar antes do cruzamento ele deve freiar o maximo possivel $a = -5 \, m/s^2$. Como a aceleração é constante, pode-se usar a equação de Torricelli, dada por $v_f^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$, com $v_f = 0$, $v_0 = v_{maxima}$, $\Delta x = 30 \, m$. Assim, $$0^2 = v_{maxima}^2-2\cdot 5 \cdot 30$$ $$v_{maxima} \approx 17,32 \, m/s = 62,35 \, km/h$$
Considerando o tempo de reação do motorista como $t_r=0,7\, s$
Para o carro atravessar o sinaleiro no amarelo, ele percorrerá uma distancia $x_0$ com velocidade constante $v_0$ durante $t_r$, assim, como $v_0=\dfrac{x_0}{t_r}$, $x_0 = v_0 t_r = 0,7v_0$, após o carro percorrer a distancia $x_0$ ele irá acelerar no máximo possível $a=3 \, m/s^2$, deve-se considerar também que o motorista nota o sinal amarelo após $t_r = 0,7 \, s$ assim o tempo do movimento será $t = 3 - 0,7 =2,3 \, s$. Utilizando a equação da horária da posição $x = x_0 + v_0t+\dfrac{at^2}{2}$, com $x=45\, m$ e $v_0 = v_{minima}$. Assim, $$45 = 0,7v_0 + v_02,3+7,935$$ $$v_0 = v_{minima} = 12,355 \, m/s = 44,478 \, km/h$$
Para o carro parar antes do cruzamento, ele percorrerá uma distancia $x_0$ com velocidade constante $v_0$ durante $t_r$, assim, como $v_0=\dfrac{x_0}{t_r}$, $x_0 = v_0 t_r = 0,7v_0$, após o carro percorrer a distancia $x_0$ ele irá freiar no máximo possível $a=-5 \, m/s^2$, deve-se considerar também que o motorista nota o sinal amarelo após $t_r = 0,7 \, s$ assim o tempo do movimento será $t = 3 - 0,7 = 2,3 \, s$. Utilizando a equação de Torricelli, dada por $v_f^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$, com $v_f = 0$, $v_0 = v_{maxima}$, $\Delta x = 30 - x_0 = \, m$. Assim, $$0^2 = v_{0}^2-2\cdot 5 \cdot \left(30-0,7v_0\right)$$ $$v_0^2+7v_0-300=0$$
Considerando o tempo de reação do motorista como $t_r=0,7\, s$
Para o carro atravessar o sinaleiro no amarelo, ele percorrerá uma distancia $x_0$ com velocidade constante $v_0$ durante $t_r$, assim, como $v_0=\dfrac{x_0}{t_r}$, $x_0 = v_0 t_r = 0,7v_0$, após o carro percorrer a distancia $x_0$ ele irá acelerar no máximo possível $a=3 \, m/s^2$, deve-se considerar também que o motorista nota o sinal amarelo após $t_r = 0,7 \, s$ assim o tempo do movimento será $t = 3 - 0,7 =2,3 \, s$. Utilizando a equação da horária da posição $x = x_0 + v_0t+\dfrac{at^2}{2}$, com $x=45\, m$ e $v_0 = v_{minima}$. Assim, $$45 = 0,7v_0 + v_02,3+7,935$$ $$v_0 = v_{minima} = 12,355 \, m/s = 44,478 \, km/h$$
Para o carro parar antes do cruzamento, ele percorrerá uma distancia $x_0$ com velocidade constante $v_0$ durante $t_r$, assim, como $v_0=\dfrac{x_0}{t_r}$, $x_0 = v_0 t_r = 0,7v_0$, após o carro percorrer a distancia $x_0$ ele irá freiar no máximo possível $a=-5 \, m/s^2$, deve-se considerar também que o motorista nota o sinal amarelo após $t_r = 0,7 \, s$ assim o tempo do movimento será $t = 3 - 0,7 = 2,3 \, s$. Utilizando a equação de Torricelli, dada por $v_f^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$, com $v_f = 0$, $v_0 = v_{maxima}$, $\Delta x = 30 - x_0 = \, m$. Assim, $$0^2 = v_{0}^2-2\cdot 5 \cdot \left(30-0,7v_0\right)$$ $$v_0^2+7v_0-300=0$$
$v_0 = -21,17 \, m/s$ (não convem) ou $v_0 = 14,17 \, m/s = 51,01 \, km/h$
Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.
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