Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questao 18 resolvido

Questão 18

A integral, com limite inferior $a$ fixo e limite inferior $x$ variável, define uma função de x,

$F(x) = \displaystyle\int^x_a f(x')dx'$

Mostre que

$\dfrac{dF}{dx}=f(x)$.

Assim, a integração pode ser considerada como operação inversa da derivação. Sugestão: Use a interpretação geométrica da integral. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução:

Dados do problema:

• $F(x) = \displaystyle\int^x_a f(x')dx'$

O gráfico de f(x) pode ser representado abaixo:

Assim, $F(x)$ representa a área abaixo de $f(x)$ de $a$ até $x$ e $F(x + \Delta x)$ representa a área abaixo de $f(x)$ de $a$ até $x+\Delta x$. Para $\Delta x$ tendendo a $0$ têm-se que $f(x) \approx f(x+\Delta x)$, assim a área abaixo de $f(x)$ se aproxima de um retângulo de base $\Delta x$ e altura $f(x)$. Essa mesma área pode ser representada em termos das integrais de f(x), ou seja, $F(x)$, de tal modo que:$$F(x+\Delta x) - F(x) \approx f(x) \cdot \Delta x$$

Assim, $f(x) \approx \dfrac{F(x+ \Delta x) -F(x)}{\Delta x}$, como $\Delta x$ aproxima de $0$, $f(x) = \underset{\Delta x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{F(x+ \Delta x) -F(x)}{\Delta x}$.

Dessa forma, $f(x) = \dfrac{dF(x)}{dx}$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

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