Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questão 10 resolvido

Questão 10

Um trem com aceleração máxima a e desaceleração máxima f (magnitude da aceleração de freamento) tem de percorrer uma distância d entre duas estações. O maquinista pode escolher entre (a) seguir com a aceleração máxima até certo ponto e a partir daí frear com a desaceleração máxima, até chegar; (b) acelerar até uma certa velocidade, mantê-la constante durante algum tempo e depois freiar até a chegada. Mostre que a primeira opção é a que minimiza o tempo do percurso (sugestão: utilize gráficos v x t) e calcule o tempo mínimo de percurso em função de a, f e d. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Aceleração máxima $a$
• Desaceleração máxima $f$
• Distância percorrida $d$

Usando a opção (b) do problema, têm-se que o trem acelera com aceleração $a$ durante $t_1 \, s$ até alcançar velocidade $v$, mantem a velocidade $v$ constante durante $t_2 \, s$ e desacelera até parar com desaceleração $f$. Como mostra o gráfico de v x t. Assim, a opção (a) pode ser descrita como um caso especial em que $t_2 =0$

Para encontrar a velocidade $v$, basta usar a equação horária da velocidade para movimentos uniformemente variados, dada por $v_f = v_0 +at$, com $v_f = v$, $v_0=0$ e $t=t_1$. Pode-se usar a mesma equação para o movimento de desaceleração, com $v_f=0$, $v_0=v$, $a = -f$ e $t=t_3$. Têm-se assim duas equações:

• $v=at_1$
• $0=v-ft_3$

Dessa forma, obtêm-se a seguinte equação $at_1=ft_3$ e isolando $t_1$, $t_1=\dfrac{ft_3}{a}$

Usando o gráfico de v x t, a área abaixo do gráfico é numericamente igual a $d$. Assim, fazendo a área do trapézio, $\dfrac{\left(t_1+t_2+t_3+t_2 \right)f t_3}{2} = d$, substituindo $t_1=\dfrac{ft_3}{a}$ e usando a propriedade distributiva, a equação toma a seguinte forma: $$\dfrac{f^2t_3}{2a}+ft_2 t_3 + \dfrac{ft_3^2}{2} = d$$ 

Multiplicando os dois lados da equação por $2a$ $$f^2t_3^2 + 2aft_2 +aft_3^2 = 2ad$$

Agrupando alguns termos, têm-se que: $$f\left( a+f \right)t_3^2+2a f t_2 t_3 - 2ad=0$$

Aplicando a formula de bhaskara em $t_3$ e simplificando: $$t_3 = \dfrac{-a f t_2 \pm \displaystyle\sqrt{a^2 f^2 t_2^2 +f \left(a + f \right) 2 a d}}{f \left(a + f \right)}$$

Sabe-se que: $$a^2 f^2 t_2^2 +f \left(a + f \right) 2 a d \geq a^2 f^2 t_2^2$$ $$\sqrt{a^2 f^2 t_2^2 +f \left(a + f \right) 2 a d} \geq \sqrt{a^2 f^2 t_2^2}$$ $$\sqrt{a^2 f^2 t_2^2 +f \left(a + f \right) 2 a d} \geq a f t_2$$

Assim, como $t_3 \geq 0$, o sinal adotado para o discriminante deve ser positivo.

$t_3$ pode ser descrito pela equação: $$t_3 = \dfrac{-a f t_2 + \displaystyle\sqrt{a^2 f^2 t_2^2 +f \left(a + f \right) 2 a d}}{f \left(a + f \right)}$$

Usando a equação $t_1=\dfrac{ft_3}{a}$ pode-se encontrar $t_1$, dado pela equação:

$$t_1 = \dfrac{-a f t_2 + \displaystyle\sqrt{a^2 f^2 t_2^2 +f \left(a + f \right) 2 a d}}{a \left(a + f \right)}$$

O tempo total de percurso $\Delta t$ é dado por: $$\Delta t = t_1 +t_2 +t_3$$

Substituindo $t_1$ e $t_3$: $$\Delta t = t_2-\dfrac{aft_2}{a\left( a +f \right)}-\dfrac{aft_2}{f\left( a +f \right)} + \dfrac{\sqrt{a^2 f^2 t_2^2 +f \left(a + f \right) 2 a d}}{a+f}\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{f} \right) $$ $$\Delta t = \dfrac{t_2 a f \left( a + f\right)}{a f \left( a + f\right)}-\dfrac{af^2t_2}{af\left( a +f \right)}-\dfrac{a^2ft_2}{af\left( a +f \right)} + \dfrac{\sqrt{a^2 f^2 t_2^2 +f \left(a + f \right) 2 a d}}{a+f}\left(\dfrac{f+a}{af}\right)$$ $$\Delta t = \dfrac{\sqrt{a^2 f^2 t_2^2 +f \left(a + f \right) 2 a d}}{af}$$ $$\Delta t = \sqrt{t_2^2 +\dfrac{ \left(a + f \right) 2 d}{af}}$$

Com isso, já é possivel perceber que quanto maior for $t_2$, maior será o valor de $\Delta t$. Entretanto, para usar um argumento mais forte, deve-se derivar $\Delta t$ em relação a $t_2$: $$\dfrac{d\Delta t}{dt_2} = \dfrac{t_2}{\sqrt{t_2^2 +\dfrac{ \left(a + f \right) 2 d}{af}}}$$

Para todo valor de $t_2 > 0$, $\dfrac{d\Delta t}{dt_2} > 0$, assim, $\Delta t$ assume valor mínimo quando $t_2 = 0$. Assim, a melhor opção para minimizar o tempo de viagem é a opção (a) com $\Delta t$ mínimo: $$\Delta t = \sqrt{\dfrac{ \left(a + f \right) 2 d}{af}} = \sqrt{\dfrac{2d}{a} \left(1 + \dfrac{a}{f} \right)}$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

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