Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questao 6 resolvido

Questão 5

Uma partícula, inicialmente em repouso na origem, move-se durante 10s em linha reta, com aceleração crescente segundo a lei

a = bt,

onde t é o tempo e b = 0,5 m/s2. Trace os gráficos da velocidade v e da posição x da partícula em função do tempo. Qual é a expressão analítica de v(t) ? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Tempo decorrido $\Delta t = 10 \, s$
• Parametro $b = 0,5 \, m/s^2$
• Posição inicial $x_0 = 0$
• Aceleração em função do tempo $a = bt$

Sabendo que a aceleração é dada por $a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2x}{dt^2}$, pode-se afirmar que $ \dfrac{dv}{dt} = bt$. Como a função a(t) é continua para todo valor de t, a função v(t) será continua para todo valor de t, assim, v(t) pode ser diferenciada da seguinte forma, tomando f(t) uma função genérica: $$v = f(t)$$ $$dv = \dfrac{df(t)}{dt} \, dt$$ 

como $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{df(t)}{dt} = a$, $$dv = a \, dt$$

Integrando a ultima equação dos dois lados: $$\displaystyle\int^{v}_{v_{0}} dv = \displaystyle\int^t_0 a \, dt$$ $$ v - v_0 = \displaystyle\int^t_0 bt \, dt = \dfrac{bt^2}{2}$$ $$v = v_0 +\dfrac{bt^2}{2}$$

Sabendo que $v = \dfrac{dx}{dt}$ e repetindo o argumento usado para a aceleração.

$$dx = v \, dt$$ $$\displaystyle\int^x_{x_0} dx = \displaystyle\int^t_{0}v \,dt$$ $$x - x_0 =  \displaystyle\int^t_{0} v_0 \, + \, \dfrac{bt^2}{2}\, dt = v_0t+\dfrac{bt^3}{6}$$ $$x = x_0 + v_0t + \dfrac{bt^3}{6}$$

com $x_0 = 0$, $v_0 = 0$ e $b = \frac{1}{2}$ têm-se as equações para a veelocidade e posicao da particula

• $x(t) = \dfrac{t^3}{12}$
• $v(t) = \dfrac{t^2}{4}$

Os gráficos de x(t) e v(t) são mostrados abaixo:

velocidade em função do tempo

posição em função do tempo

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

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