Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questão 14 resolvido

Questão 14

Deixa-se cair uma pedra num poço profundo. O barulho da queda é ouvido 2s depois. Sabendo que a velocidade do som no ar é de 330m/s, calcule a profundidade do poço. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Tempo total $t = 2 \, s$
• Velocidade do som $v = 330 \, m/s$
• Aceleração da gravidade $g = 9,8 \, m/s^2$

A modelagem do problema pode ser descrita na figura abaixo:

Usando a equação horária da posição para a queda da pedra, têm-se que: $h=\dfrac{gt_1^2}{2}$, com h sendo a altura do poço e $t_1$ o tempo de queda da pedra. Assim, $t_1=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$.

Apos a pedra atingir o chão ela emitirá um som que será propagado a velocidade constante v. O som alcança o topo do poço após $t_2$ segundos. Usando a equação horária da posição para movimentos uniformes, obtêm-se: $t_2 = \dfrac{h}{v} = \dfrac{h}{330}$, com $t_2$ sendo o tempo necessário para o som alcançar o topo do poço.

O tempo total desde o lançamento da pedra até ouvir o som é $t = t_1 + t_2 =2$. Substituindo os termos $t_1$ e $t_2$. $$\sqrt{\dfrac{2h}{g}} + \dfrac{h}{330} = 2$$ $$\sqrt{\dfrac{2h}{g}} = 2 - \dfrac{h}{330}$$

Elevando ambos os lados ao quadrado: $$\dfrac{2h}{g}= 4 - \dfrac{4h}{330} + \dfrac{h^2}{330^2}$$ 

Multiplicando os dois lados da equação por g e substituindo $g=9,8$ $$\dfrac{9,8}{330^2}h^2 -\dfrac{699,2}{330} h + 39,2 =0$$ 

Assim obtêm-se dois valores para h

$h = 18,52 \, m$ ou $h = 23525,97 \, m$

Sabendo que o tempo $t_2$ não pode exceder 2 segundos ($t_2< 2$) e pode ser escrito como $t_2 = \dfrac{h}{330}$, logo, $\dfrac{h}{330} < 2$, $h < 660$

Assim o segundo resultado não convêm, e o resultado para a altura do poço é $$h = 18, 52 \, m$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

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