Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questão 16 resolvido

Questão 16

Um foguete para pesquisas metereológicas é lançado verticalmente para cima. O combustível, que lhe imprime uma aceleração 1,5g (g = aceleração da gravidade) durante o período de queima, esgota-se após 0,5min. (a) Qual seria a altitude máxima atingida pelo foguete se pudéssemos desprezar a resistência do ar? (b) Com que velocidade (em m/s e km/h), e depois de quanto tempo ele voltaria a atingir o solo? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Aceleração da gravidade $g = 9,8 \, m/s^2$
• Aceleração inicial $a = 1,5 g = 14,7 \, m/s^2$
• Tempo de queima de combustível $t_1 = 0,5\, min = 30 \, s$
• Velocidade inicial do foguete $v_0 = 0$

Analisando o comportamento do foguete durante a queima de combustível, pode-se usar a equação horária da posição para encontrar a altura $y_1$ que o foguete sobe durante tempo de queima $t_1$ e pode-se usar a equação horária da velocidade para encontrar a velocidade final $v$ após o tempo de queima $t_1$. Sabendo que a aceleração é $a = 1,5 g$, têm-se duas equações:

1. $y_1 = \dfrac{1,5gt_1^2}{2} = 6615 \, m$
2. $v = 1,5gt_1 = 441 \, m/s$

Após a queima do combustível, a aceleração do foguete passa a ser $a = -g$. A velocidade em função do tempo é descrita pela equação $v_f = v - g \left( t -30 \right)$. A velocidade é decrescente e quando a velocidade do foguete for 0 ele alcançará a altura máxima $h_{max}$. Assim, para encontrar a altura máxima basta usar a equação de Torricelli $v_f^2 = v^2 - 2g \Delta x$, com $\Delta x = h_{max} - y_1$ e $v_f = 0$. $$0 = 441^2 - 2 \cdot 9,8 \cdot \left( h_{max} - 6615 \right)$$ $$ \textbf{a)} \, h_{max} = 16537,5 \, m = 16,5 \, km$$

Para encontrar a velocidade final quando o foguete atinge o solo basta usar a equação de Torricelli analisando do ponto mais alto da trajetória até a colisão com o solo: $v_f^2 = v_0^2 + 2a \Delta x$, com $a = g$, $v_0 = 0 $, $\Delta x = h_{max}$ $$v_f^2 = 0^2 + 2\cdot 9,8 \cdot 16537.5$$ $$v_f =569,3 \, m/s = 2049,6 \, km/h$$

Para encontrar o tempo que o foguete voltaria para o solo, primeiro deve-se usar a equação $v_f = v - gt$ com $v_f =0$, para encontrar o tempo que o foguete atinge o ponto mais alto da trajetória, que nesse caso será $t_2$ $$ 0 = 441 - 9,8 t_2 $$ $$t_2 = 45 \, s$$

Em seguida deve-se usar a equação $v_f = v_0 +gt$, analisando o movimento do ponto mais alto da trajetória até alcançar o solo no instante $t_3$. Assim, $v_f = 569,3$ e $v_0 = 0$ $$569,3 = 0 + 9,8 t_3 = 58,1 \, s$$

Assim, o foguete sobe durante 30 segundos até a altura $y_1$, sobe durante 45 segundos até a altura maxima e cai durante 58,1 segundos até colidir com o chão. Logo o tempo total $t$ é $$\textbf{b)} \, t = t_1 + t_2 + t_3 = 133,1 \, s$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

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