Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 3 resolvido

Questão 3

Mostre que a magnitude da soma de dois vetores a e b está sempre compreendida entre os limites $$||\vec{a}|-|\vec{b}|| \leq |\vec{a}+\vec{b}| \leq |\vec{a}|+|\vec{b}|$$
Em que situação são atingidos os valores extremos? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Vetor genérico $\vec{a}$
• Vetor genérico $\vec{b}$

Tendo como base que o ângulo entre os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ é $\theta$, o vetor soma $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$ respeita a equação: $$|\vec{s}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|  cos(\theta)$$

Isolando $cos(\theta)$: $$cos(\theta) = \dfrac{|\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$

Substituindo o $cos(\theta )$ em: $$-1 \leq cos(\theta) \leq 1$$ $$-1 \leq \dfrac{|\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|} \leq 1$$

O modulo de qualquer vetor é sempre positivo, logo, pode-se multiplicar toda a inequação por $2 |\vec{a}| |\vec{b}|$. Assim: $$ - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \leq |\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 \leq 2 |\vec{a}| |\vec{b}| $$

Somando $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$ em toda a inequação: $$|\vec{a}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| +|\vec{b}|^2 \leq |\vec{s}|^2 \leq |\vec{a}|^2+ 2 |\vec{a}| |\vec{b}| +|\vec{b}|^2$$

Substituindo os seguintes produtos notáveis: $$(|\vec{a}|-|\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| +|\vec{b}|^2 $$ $$(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| +|\vec{b}|^2 $$ Têm-se que: $$(|\vec{a}|-|\vec{b}|)^2 \leq |\vec{s}|^2 \leq (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2$$

Pode-se aplicar a raiz quadrada em todos os termos da equação, lembrando que $\sqrt{x^2} = |x|$ $$||\vec{a}|-|\vec{b}|| \leq ||\vec{s}|| \leq ||\vec{a}|+|\vec{b}||$$

Como a soma de dois termos maiores que 0 é sempre maior que zero, $||\vec{a}|+|\vec{b}|| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ e lembrado da definição de $\vec{s}$ como soma dos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$: $$||\vec{a}|-|\vec{b}|| \leq |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}|+|\vec{b}|$$

Com isso é possível notar que o modulo do vetor soma $\vec{s}$ possui dois extremos:

• Extremo máximo de $|\vec{s}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$
• Extremo mínimo de $|\vec{s}| = ||\vec{a}| + |\vec{b}||$ 

Substituindo o extremo máximo na equação:

$$cos(\theta) = \dfrac{|\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$ $$ cos(\theta) = \dfrac{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$ $$ cos(\theta) = \dfrac{2 |\vec{a}| |\vec{b}|}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|} =1$$ Assim,  $$\theta = 0 ^\circ$$

Ou seja, o vetor soma atinge seu valor máximo se os dois vetores tiverem mesma direção e sentido (orientações iguais).

Substituindo o extremo mínimo na equação: $$cos(\theta) = \dfrac{|\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$ $$cos(\theta) = \dfrac{(|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$ $$cos(\theta) = \dfrac{ - 2 |\vec{a}| |\vec{b}|}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|} = - 1$$ Assim, $$\theta = 180 ^\circ$$

Ou seja, o vetor soma atinge seu valor mínimo se os dois vetores tiverem mesma direção e com sentidos opostos (orientações opostas).

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.