Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 5 resolvido

Questão 5

As latitudes de longitudes de São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte, respectivamente, são as seguintes: São Paulo:23° 33´ S, 46° 39’ O; Rio de Janeiro:22° 53´ S, 43° 17’ O; Belo Horizonte:19° 55’ S, 43° 56’ O. A partir destes dados, (a) Calcule as distâncias entre as três cidades, (b) Em relação a um sistema de coordenadas com origem em São Paulo e eixo das abcissas na direção São Paulo- Rio de Janeiro obtenha o vetor posição de belo Horizonte. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução

Dados do problema

• Latitude de São Paulo: $\theta_{SP} = 23 ^\circ 33' S$
• Longitude de São Paulo: $\phi_{SP} = 46 ^\circ 39' O$
• Latitude do Rio de Janeiro: $\theta_{RJ} = 22 ^\circ 53' S$
• Longitude do Rio de Janeiro: $\phi_{RJ} = 43 ^\circ 17' O$
• Latitude de Belo Horizonte: $\theta_{BH} = 19 ^\circ 55' S$
• Longitude de Belo Horizonte: $\phi_{BH} = 43 ^\circ 56' O$
• Raio da Terra: $R= 6371 \, km$

O exercício forneceu as coordenadas das cidades em coordenadas esféricas, para resolver o problema, deve-se transformar o sistema de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. Para isso, deve-se construir um modelo de conversão, como mostra a figura abaixo:

Assim, tendo o ângulo $\alpha$ e $\beta$ e o raio $R$ pode-se construir o ponto em coordenadas cartesianas em que:

• $x=R cos(\alpha ) sen(\beta ) $
• $y=R sen(\alpha ) sen(\beta ) $
• $z = R sen(\beta )$

No caso do exercício, o angulo de longitude é disposto em direção ao oeste (esquerda do eixo x) e o ângulo de latitude é disposto em direção ao sul (abaixo do plano xy) e devem ser adaptados para o modelo. Para isso, basta subtrair o ângulo de $360 ^\circ$ do ângulo da cidade, assim, $\alpha = 360 ^\circ - \phi$ e $\beta = 360 ^\circ - \theta$.

Dessa forma, as coordenadas das cidades são:

• Rio de Janeiro: $RJ = (4009.14,-4246.97, -2545.53)$
• São Paulo: $SP = (4272.90,-4024.23, -2477.40)$
• Belo Horizonte: $BH = (4313.64,-4155.95, -2170.30)$

Dessa forma, para descobrir a distância entre uma cidade e outra basta descobrir qual a distância entre os pontos da seguinte forma:

• Ponto 1 $P1 = (x_1,y_1,z_1)$
• Ponto 2 $P2 = (x_2,y_2,z_2)$

A distância entre os pontos $P1$ e $P2$ é $d = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$

Assim:

a)

• Distância Rio de Janeiro-São Paulo: $351,88 \, km$
• Distância São Paulo-Belo Horizonte: $491,73 \, km$
• Distância Rio de Janeiro-São Paulo: $336,63 \, km$

Contudo, as respostas obtidas não coincidem com as do livro. Porém, procurando as coordenadas no Google Maps, pode-se medir as distâncias dos pontos dados

Distância São Paulo até Rio de Janeiro

Distância São Paulo até Belo Horizonte

Distância Rio de Janeiro até Belo Horizonte

Como podem ver, as respostas encontradas são muito parecidas:

Distância Rio de Janeiro-São Paulo: $351,93 \, km$

Distância São Paulo-Belo Horizonte: $491,86 \, km$

Distância Rio de Janeiro-São Paulo: $336,67 \, km$

(b) Deve-se encontrar os vetores São Paulo-Belo Horizonte $\overrightarrow{SP,BH}$ e São Paulo-Rio de Janeiro $\overrightarrow{SP,RJ}$, para isso, basta subtrair os pontos.

• $\overrightarrow{SP,BH} = BH - SP = (263.76, 222.73, 68.13)$
• $\overrightarrow{SP,RJ} = RJ - SP = (304.50,91.02,375.23)$

Para encontrar o ângulo entre eles $\Omega$ deve-se usar a seguinte equação: $$cos(\Omega ) = \dfrac{\overrightarrow{SP,BH} \cdot \overrightarrow{SP,RJ}}{|\overrightarrow{SP,BH}| |\overrightarrow{SP,RJ}|} = 0.73 \Rightarrow \Omega = 43.19 ^\circ$$

O modulo do vetor $\overrightarrow{SP,BH}$ é $491,73 \, km$

Assim, o vetor posição de Belo Horizonte tem modulo $491,73 \, km$ e ângulo $\Omega = 43.19 ^\circ$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Imagens tiradas do Google Maps

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