Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questão 13 resolvido

Questão 13

Uma bola de vôlei impelida verticalmente para cima, a partir de um ponto próximo do chão, passa pela altura da rede 0,3s depois, subindo, e volta a passar por ela, descendo, 1,7s depois do arremesso. (a) Qual é a velocidade inicial da bola? (b) Até que altura máxima ela sobe? (c) Qual é a altura da rede? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Instante de passagem pela altura da rede na subida $t_1= 0,3 \, s$
• Instante de passagem pela altura da rede na descida $t_1= 1,7 \, s$

A modelagem do problema pode ser vista abaixo: com z sendo a altura da rede:

        Sabendo que o movimento vertical possui aceleração constante $g = 9,8 \, m/s^2$ para baixo pode-se usar a equação horária da posição, dada por: $\Delta y = v_0\Delta t - \dfrac{g\Delta t^2}{2}$. Considerando o movimento com inicio em $t_1$ e fim em $t_2$ ($\Delta t = t_2 - t_1$), a variação da posição durante esse intervalo de tempo é 0, e $v_0=v$, $v$ é a velocidade em $t_1$. Assim: $$0 = v\left( t_2 - t_1 \right) - \dfrac{g \left( t_2 - t_1 \right)^2}{2}$$ $$v = \dfrac{g \left( t_2 - t_1 \right)}{2}$$

Usando a equação horária da velocidade têm-se que: $v = v_0 - gt_1$, com $v_0$ sendo a velocidade inicial de lançamento da bola. Substituindo a expressão encontrada para $v$ nessa equação, obtêm-se: $$\dfrac{g \left( t_2 - t_1 \right)}{2} = v_0 -g t_1$$ $$v_0= \dfrac{g \left( t_1 + t_2 \right)}{2}$$

Substituindo os valores têm-se que a velocidade inicial de lançamento é  $$v_0 = 9,8 \, m/s$$

        Sabendo que quando a bola atingir a altura máxima $h_{max}$ a velocidade final $v_f$ será 0. Assim, pode-se usar a equação de Torricelli $$v_f^2=v_0^2-2gh$$ $$0 = \left( \dfrac{g \left( t_1 + t_2 \right)}{2} \right)^2 - 2gh_{max}$$ $$h_{max} = \dfrac{g^2 \left( t_1 +t_2 \right)^2}{8g}$$

Substituindo os valores têm-se que a altura máxima de lançamento é $$h_{max} = 2,5 \, m$$

        Usando a equação horária da posição, agora entre $t_1$ e 0 (instante inicial), têm-se que: $$z = v_0 t_1 -\dfrac{gt_1^2}{2}$$

Substituindo $v_0$ $$z = \dfrac{g \left( t_1+ t_2 \right) }{2} t_1 -\dfrac{gt_1^2}{2}$$ $$z = \dfrac{gt_1^2+ g t_1 t_2 }{2} -\dfrac{gt_1^2}{2}$$ $$z = \dfrac{gt_1 t_2}{2}$$

Substituindo os valores têm-se que a altura da rede é é $$z = 2,5 \, m$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

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