Fisica 2 Moyses vol 2 capítulo 1 questão 3 resolvido

Questão 3

O manômetro de tubo inclinado (Fig. P.3), utilizado para medir pequenas diferenças de pressão, p1-p2, difere do descrito no problema 2 pela inclinação $\theta$ do tubo de diâmetro d. Se o fluido empregado é óleo de densidade $\rho = 0,8 \, g/cm^3$, com $d = 0,5 \, cm$, $D = 2,5 \, cm$, escolha $\theta$ para que o deslocamento l seja de 5 cm quando p1-p2 = 0,001 atm. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.2)

Solução 

Dados do problema

• Diametro $D=2,5\, cm=0,025 \, m$
• Diametro $d=0,5 \, cm=0,005 \, m$
• Diferença de pressão para o deslocamento l $p_1 - p_2 = 0,001 \, atm = 100 \, Pa$
• Deslocamento do fluido $l  =  5 \, cm = 0,05 \, m$
• Nivel de equilibrio ($p_1 = p_2$) $N_0$
• Densidade do fluido $\rho = 0,8 \, g/cm^3 =800 \, kg/m^3$

Assumindo dois pontos A e B no mesmo nível e, por isso, sob a mesma pressão. Assumindo também que o fluido abaixa uma altura H.

A pressão em A e B são $p_A$ e $p_B$ respectivamente. Sabe-se que $p_A = p_1$ e, usando a lei de Stevin na coluna de liquido inclinado, $p_B = p_2 + \rho g \left( h+ H \right)$. Assim, $$p_A = p_B$$ $$p_1 = p_2 + \rho g \left( h+ H \right)$$ $$p_1 - p_2 = \rho g \left( h+ H \right)$$

Sabendo que o volume de fluido que abaixa até a altura H preenche a altura h, pode-se usar a equivalência entre os volumes: $$\pi \dfrac{D^2}{4} H = \pi \dfrac{d^2}{4} l$$ $$D^2H = d^2l$$ $$H = \dfrac{d^2}{D^2}l$$

Usando a seguinte relação $sen (\theta ) = \dfrac{h}{l}$, $h = l sen (\theta )$ e substituindo H e l na equação da diferença de pressão: $$p_1 - p_2 = \rho g \left( l sen( \theta )+ \dfrac{d^2}{D^2}l \right)$$ $$p_1 - p_2 = \rho g l \left( sen( \theta )+ \dfrac{d^2}{D^2} \right)$$

Isolando $sen( \theta )$, $$sen( \theta ) =\dfrac{p_1 - p_2}{\rho g l} - \dfrac{d^2}{D^2}$$

Substituindo os valores: $$sen( \theta ) =\dfrac{100}{800 \cdot 9.8 \cdot 0,05} - \dfrac{0,005^2}{0,025^2}$$ $$sen( \theta ) \approx 0,22$$ $$\theta \approx 12,71^\circ$$

Observação: O método está certo e as contas estão certas, entretanto não sei por que motivo o gabarito deu diferente, apesar de ser "próximo" (Gabarito = $14,4^\circ$).

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Fısica Básica, vol 2, Ed. Edgard Blücher Ltda, 1983.

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