Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 1 resolvido

Questão 1

No problema do caçador e do macaco (Seç. 3.1), mostre analiticamente que a bala atinge o alvo, e calcule em que instante isso ocorre, para uma dada distância $d$ entre eles e altura $h$ do galho, sendo $v_{0}$ a velocidade inicial da bala. Interprete o resultado. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Altura $h$ do macaco
• Distancia $d$ do macaco
• Velocidade inicial da bala $v_0$
• Aceleração da gravidade $g$

Primeiro, deve-se descobrir em que instante a bala percorre a distância $d$. Sabendo que a bala descreve um movimento uniforme na horizontal com velocidade $v_0 \cdot cos(\theta)$ e que o instante em que a bala atinge o macaco é $t$, têm-se que: $$v_0 \cdot cos(\theta) \cdot t = d$$ $$t = \dfrac{d}{v_0 \cdot cos(\theta)}$$

Feito isso, deve-se descobrir a altura da bala $h_b$ no instante $t$. Sabe-se que a bala descreve um movimento uniformemente variado com aceleração $g$ para baixo, a altura da bala pode ser descrita por meio da equação horária da posição: $$h_b = 0 + v_0 \cdot sen(\theta) \cdot t - \dfrac{g \cdot t^2}{2}$$

Substituindo $t$ em $h_b$: $$h_b= d \cdot tg(\theta) - \dfrac{g\cdot d^2}{2\cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}$$

Em seguida, deve-se descobrir a que altura o macaco está. Sabendo que o macaco descreve um movimento uniformemente variado com aceleração $g$ para baixo, a altura do macaco pode ser descrita por meio da equação horária da posição, tomando $h_m$ como a altura do macaco no instante t: $$h_m = h - \dfrac{g \cdot t^2}{2}$$

Substituindo $t$ em $h_m$: $$h_m = h - \dfrac{g\cdot d^2}{2 \cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}$$

Para provar que a bala atinge o macaco no instante $t$ basta provar que a bala e o macaco estão na mesma posição, ou seja, que eles estão na mesma altura em relação ao atirador. Portanto, provar que a bala atinge o macaco implica na seguinte igualdade: $h_b=h_m$

Têm-se ainda a seguinte relação no triangulo retângulo formado entre a altura $h$ e a distância $d$

Usando o teorema de Pitagoras, têm-se que:$$c^2 = d^2 +h^2$$ $$c=\sqrt{d^2+h^2}$$

Usando as relações trigonométricas, têm-se que:

$$sen(\theta ) = \dfrac{h}{c} = \dfrac{h}{\sqrt{d^2+h^2}}$$

$$cos(\theta ) = \dfrac{d}{c} = \dfrac{d}{\sqrt{d^2+h^2}}$$

$$tg(\theta ) = \dfrac{h}{d}$$

Da ultima relação: $$h=d\cdot tg(\theta ) $$

Substituindo em $h_m$: $$h_m = d\cdot tg(\theta ) - \dfrac{g\cdot d^2}{2\cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}$$

Assim, $$h_m = h_b \Rightarrow a \ bala \ atinge \ o \ macaco$$

Para descobrir o instante em que a bala atinge o macaco, basta substituir $cos(\theta )$ em $t$ $$t = \dfrac{d}{v_0 \cdot cos(\theta)}$$ $$t = \dfrac{d}{v_0 \cdot  \dfrac{d}{\sqrt{d^2+h^2}}}$$ $$t = \dfrac{\sqrt{d^2+h^2}}{v_0}$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/problema-macaco-cacador-secao-31-mostre-analiticamente-bala-atinge-alvo-23988) e no Forum PiR2 (https://pir2.forumeiros.com/t105539-terceiro-capitulo-fisica-1-moyses-nussenzveig).