Fisica 2 Moyses vol 2 capítulo 1 questão 2 resolvido

Questão 2

No manômetro de reservatório (Fig. P.2), calcule a diferença de pressão p1-p2 entre os dois ramos em função da densidade $\rho$ do fluido, dos diâmetros d e D, e da altura h de elevação do fluido no tubo, relativamente ao nível de equilíbrio N0 que o fluido ocupa quando p1=p2. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.2)

Solução 

Dados do problema

• Diametro D
• Diametro d
• Altura de descida do fluido H
• Altura de elevação do fluido h
• Nivel de equilibrio ($p_1 = p_2$) $N_0$
• Densidade do fluido $\rho$

Dada a figura do problema, 

Assumindo dois pontos A e B no mesmo nível e, assim, sob a mesma pressão, pode-se dizer que o ponto A esta sob a pressão $p_1$ e o ponto B está sob a pressão $p_2$ mais a pressão da coluna de fluido. Dessa forma, $$p_A = p_B$$ $$p_A = p_1$$ $$p_B = p_2 + \rho g \left( h+H \right)$$ $$p_1 = p_2 + \rho g \left( h + H \right)$$ $$p_1 - p_2 =\rho g \left( h + H \right)$$

Tomando agora que, quando o fluido atinge o nível de equilíbrio, o volume do fluido que desceu até a altura H foi deslocado, subindo para a altura h. Têm-se a equação, obtida da equivalência entre os volumes: $$\pi \dfrac{D^2}{4} H = \pi \dfrac{d^2}{4} h$$ $$D^2 H = d^2 h$$ $$H = \dfrac{d^2}{D^2}h$$

Substituindo H na equação de diferença de pressão: $$p_1 - p_2 =\rho g \left( h + \dfrac{d^2}{D^2} h \right)$$ $$p_1 - p_2 =\rho g h \left( 1 + \dfrac{d^2}{D^2} \right)$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Fısica Básica, vol 2, Ed. Edgard Blücher Ltda, 1983.

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