Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questão 12 resolvido

Questão 12

Um método possível para medir a aceleração da gravidade g consiste em lançar uma bolinha para cima num tubo onde se fez vácuo e medir com precisão os instantes $t_1$ e $t_2$ de passagem (na subida e na descida, respectivamente) por uma altura z conhecida, a partir do instante do lançamento. Mostre que: $$g=\dfrac{2z}{t_1 t_2}$$  (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução  

Dados do problema

• Altura z
• Instante de passagem por z na subida $t_1$
• Instante de passagem por z na descida $t_2$

A modelagem do problema pode ser vista na imagem a baixo:

Sabendo que o movimento vertical possui aceleração constante $g$ para baixo pode-se usar a equação horária da posição, dada por: $\Delta y = v_0\Delta t - \dfrac{g\Delta t^2}{2}$. Considerando o movimento com inicio em $t_1$ e fim em $t_2$ ($\Delta t = t_2 - t_1$), a variação da posição durante esse intervalo de tempo é 0, e $v_0=v$, $v$ é a velocidade em $t_1$. Assim: $$0 = v\left( t_2 - t_1 \right) - \dfrac{g \left( t_2 - t_1 \right)^2}{2}$$ $$v = \dfrac{g \left( t_2 - t_1 \right)}{2}$$

Usando a equação horária da velocidade têm-se que: $v = v_0 - gt_1$, com $v_0$ sendo a velocidade inicial de lançamento da bola. Substituindo a expressão encontrada para $v$ nessa equação, obtêm-se: $$\dfrac{g \left( t_2 - t_1 \right)}{2} = v_0 -g t_1$$ $$v_0= \dfrac{g \left( t_1 + t_2 \right)}{2}$$

Usando a equação horária da posição, agora entre $t_1$ e 0 (instante inicial), têm-se que: $$z = v_0 t_1 -\dfrac{gt_1^2}{2}$$

Substituindo $v_0$ $$z = \dfrac{g \left( t_1+ t_2 \right) }{2} t_1 -\dfrac{gt_1^2}{2}$$ $$z = \dfrac{gt_1^2+ g t_1 t_2}{2} -\dfrac{gt_1^2}{2}$$ $$z = \dfrac{gt_1 t_2}{2}$$

Assim, remodelando a equação final:

$$g = \dfrac{2z}{t_1 t_2}$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

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