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sábado, 28 de dezembro de 2019

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questao 4 resolvido

Questão 4

Um avião a jato de grande porte precisa atingir a velocidade de 500 km/h para decolar, e tem uma aceleração de 4 m/s2. Quanto tempo ele leva para decolar e que distância percorre na pista até a decolagem? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução

Dados do problema

Velocidade final $v_f = 500 \, km/h = 500 \cdot \dfrac{1}{3,6} \, m/s^2$
Velocidade inicial $v_0 = 0 \, m/s$
Aceleração $a = 4 \, m/s^2$

Aplicando a equação de toricelli para se obter o deslocamento $\Delta x$

$v_f ^2= v_0^2 +2a \Delta x$

$\left( \dfrac{500}{3,6} \right)^2 = 0^2 + 2 \cdot 4 \cdot \Delta x$

$\Delta x = \left( \dfrac{500}{3,6} \right)^2 \dfrac{1}{8} \approx 2,411 \, km$

Tendo-se o deslocamento $\Delta x$, a velocidade inicial $v_0$, a velocidade final $v_f$, pode-se usar a equação horaria da posição para se encontrar o tempo decorrido para decolar $t$

$\Delta x = v_0t+\dfrac{at^2}{2}$

$\left( \dfrac{500}{3,6} \right)^2 \dfrac{1}{8} = \dfrac{4t^2}{2}$

$t=\sqrt{\left( \dfrac{500}{3,6} \right)^2 \dfrac{1}{16}}= \left( \dfrac{500}{3,6} \right) \dfrac{1}{4} \approx 34,72 \,s$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Nosso Exercicio (http://nossoexercicio.pet-ufvjm.org/exid/2258#:~:text=Um%20avi%C3%A3o%20a%20jato%20de,acelera%C3%A7%C3%A3o%20de%204m%2Fs2.) e no Brainly (https://brainly.com.br/tarefa/717482)

terça-feira, 24 de dezembro de 2019

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questao 18 resolvido

Questão 18

A integral, com limite inferior $a$ fixo e limite inferior $x$ variável, define uma função de x,

$F(x) = \displaystyle\int^x_a f(x')dx'$

Mostre que

$\dfrac{dF}{dx}=f(x)$.

Assim, a integração pode ser considerada como operação inversa da derivação. Sugestão: Use a interpretação geométrica da integral. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução:

Dados do problema:

$F(x) = \displaystyle\int^x_a f(x')dx'$

O gráfico de f(x) pode ser representado abaixo:

Assim, $F(x)$ representa a área abaixo de $f(x)$ de $a$ até $x$ e $F(x + \Delta x)$ representa a área abaixo de $f(x)$ de $a$ até $x+\Delta x$. Para $\Delta x$ tendendo a $0$ têm-se que $f(x) \approx f(x+\Delta x)$, assim a área abaixo de $f(x)$ se aproxima de um retângulo de base $\Delta x$ e altura $f(x)$. Essa mesma área pode ser representada em termos das integrais de f(x), ou seja, $F(x)$, de tal modo que:$$F(x+\Delta x) - F(x) \approx f(x) \cdot \Delta x$$

Assim, $f(x) \approx \dfrac{F(x+ \Delta x) -F(x)}{\Delta x}$, como $\Delta x$ aproxima de $0$, $f(x) = \underset{\Delta x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{F(x+ \Delta x) -F(x)}{\Delta x}$.

Dessa forma, $f(x) = \dfrac{dF(x)}{dx}$