segunda-feira, 27 de abril de 2020

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 2 resolvido

Questão 2 

Um avião a jato voa para o norte, de Brasilia até Belém, a 1630 km de distância, levando 2h 10 min nesse percurso. De lá, segue para oeste, chegando a Manaus, distante 1290 km de Belém, após 1h 50 min de vôo. (a) Qual é o vetor deslocamento total do avião? (b) Qual é o vetor velocidade média do trajeto Brasilia - Belém? (c) Qual é o vetor velocidade média no trajeto Brasilia-Manaus? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

  • Distância Brasilia - Belém: $1630 \, km$
  • Tempo de percurso Brasilia - Belém: $2\, h \, 10 \, min = 2,1\overline 6$
  • Distância Belém - Manaus: $1290 \, km$
  • Tempo de percurso Belém - Manaus: $1\, h \, 50 \, min = 1,8\overline 3$
A disposição das cidades segue como na imagem:
O vetor deslocamento total do avião é a soma dos vetores deslocamento de Brasilia Belém, assim o modulo do vetor deslocamento total é obtido a partir do teorema de Pitagoras, sendo $\vec{a} \, , |\vec{a}| = 1630 \, km$ o deslocamento do avião de Brasilia até Belém, $\vec{b} \, , |\vec{b}| = 1290 \, km$ o deslocamento do avião de Belém até Manaus e $\vec{s}$ o deslocamento total do avião, assim: $$\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$$ $$|\vec{s}|^2 =|\vec{a}|^2 +|\vec{b}|^2$$ $$|\vec{s}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 +|\vec{b}|^2}$$ $$|\vec{s}| = \sqrt{4321000}$$ $$\textbf{a)} \, |\vec{s}|  = 2078,70 \, km$$
O ângulo entre o vetor $\vec{s}$ e o norte pode ser obtido por meio do arco tangente entre o modulo do vetor $\vec{b}$ e o modulo do vetor $\vec{a}$, assim: $$\theta = arctan \left( \dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\right)$$ $$\theta = 38,36 ^\circ \ em \ relação \ ao \ norte$$

O vetor velocidade média tem mesma direção e sentido do vetor deslocamento, o modulo do vetor velocidade média é obtido por meio da divisão entre o modulo do vetor deslocamento e o tempo decorrido, assim, sendo o vetor velocidade média no trajeto Brasilia - Belém como $\vec{v_{(b)}}$ e o vetor velocidade média no trajeto Brasilia - Manaus como $\vec{v_{(c)}}$.
Assim, $$\textbf{b)} \, |\vec{v_{(b)}}|= \dfrac{1690}{2,1\overline 6} = 752,31 \, \dfrac{km}{h} \\ \vec{v_{(b)}} : \ 0 ^\circ \ em \ relação \ ao \ norte$$  $$\textbf{c)} \, |\vec{v_{(c)}}|= \dfrac{2078,70}{2,1\overline 6 + 1,8 \overline 3} = 519,675 \, \dfrac{km}{h} \\ \vec{v_{(c)}} : \ 38,36 ^\circ \ em \ relação \ ao \ norte$$


Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

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domingo, 26 de abril de 2020

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 1 resolvido

Questão 1

No problema do caçador e do macaco (Seç. 3.1), mostre analiticamente que a bala atinge o alvo, e calcule em que instante isso ocorre, para uma dada distância $d$ entre eles e altura $h$ do galho, sendo $v_{0}$ a velocidade inicial da bala. Interprete o resultado. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

  • Altura $h$ do macaco
  • Distancia $d$ do macaco
  • Velocidade inicial da bala $v_0$
  • Aceleração da gravidade $g$
Primeiro, deve-se descobrir em que instante a bala percorre a distância $d$. Sabendo que a bala descreve um movimento uniforme na horizontal com velocidade $v_0 \cdot cos(\theta)$ e que o instante em que a bala atinge o macaco é $t$, têm-se que: $$v_0 \cdot cos(\theta) \cdot t = d$$ $$t = \dfrac{d}{v_0 \cdot cos(\theta)}$$
Feito isso, deve-se descobrir a altura da bala $h_b$ no instante $t$. Sabe-se que a bala descreve um movimento uniformemente variado com aceleração $g$ para baixo, a altura da bala pode ser descrita por meio da equação horária da posição: $$h_b = 0 + v_0 \cdot sen(\theta) \cdot t - \dfrac{g \cdot t^2}{2}$$
Substituindo $t$ em $h_b$: $$h_b= d \cdot tg(\theta) - \dfrac{g\cdot d^2}{2\cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}$$
Em seguida, deve-se descobrir a que altura o macaco está. Sabendo que o macaco descreve um movimento uniformemente variado com aceleração $g$ para baixo, a altura do macaco pode ser descrita por meio da equação horária da posição, tomando $h_m$ como a altura do macaco no instante t: $$h_m = h - \dfrac{g \cdot t^2}{2}$$
Substituindo $t$ em $h_m$: $$h_m = h - \dfrac{g\cdot d^2}{2 \cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}$$
Para provar que a bala atinge o macaco no instante $t$ basta provar que a bala e o macaco estão na mesma posição, ou seja, que eles estão na mesma altura em relação ao atirador. Portanto, provar que a bala atinge o macaco implica na seguinte igualdade: $h_b=h_m$
Têm-se ainda a seguinte relação no triangulo retângulo formado entre a altura $h$ e a distância $d$
Usando o teorema de Pitagoras, têm-se que:$$c^2 = d^2 +h^2$$ $$c=\sqrt{d^2+h^2}$$
Usando as relações trigonométricas, têm-se que:
$$sen(\theta ) = \dfrac{h}{c} = \dfrac{h}{\sqrt{d^2+h^2}}$$
$$cos(\theta ) = \dfrac{d}{c} = \dfrac{d}{\sqrt{d^2+h^2}}$$
$$tg(\theta ) = \dfrac{h}{d}$$
Da ultima relação: $$h=d\cdot tg(\theta ) $$
Substituindo em $h_m$: $$h_m = d\cdot tg(\theta ) - \dfrac{g\cdot d^2}{2\cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}$$
Assim, $$h_m = h_b \Rightarrow a \ bala \ atinge \ o \ macaco$$
Para descobrir o instante em que a bala atinge o macaco, basta substituir $cos(\theta )$ em $t$ $$t = \dfrac{d}{v_0 \cdot cos(\theta)}$$ $$t = \dfrac{d}{v_0 \cdot  \dfrac{d}{\sqrt{d^2+h^2}}}$$ $$t = \dfrac{\sqrt{d^2+h^2}}{v_0}$$


Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.


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