Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questao 6 resolvido

Questão 5

Uma partícula, inicialmente em repouso na origem, move-se durante 10s em linha reta, com aceleração crescente segundo a lei

a = bt,

onde t é o tempo e b = 0,5 m/s2. Trace os gráficos da velocidade v e da posição x da partícula em função do tempo. Qual é a expressão analítica de v(t) ? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Tempo decorrido $\Delta t = 10 \, s$
• Parametro $b = 0,5 \, m/s^2$
• Posição inicial $x_0 = 0$
• Aceleração em função do tempo $a = bt$

Sabendo que a aceleração é dada por $a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2x}{dt^2}$, pode-se afirmar que $ \dfrac{dv}{dt} = bt$. Como a função a(t) é continua para todo valor de t, a função v(t) será continua para todo valor de t, assim, v(t) pode ser diferenciada da seguinte forma, tomando f(t) uma função genérica: $$v = f(t)$$ $$dv = \dfrac{df(t)}{dt} \, dt$$ 

como $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{df(t)}{dt} = a$, $$dv = a \, dt$$

Integrando a ultima equação dos dois lados: $$\displaystyle\int^{v}_{v_{0}} dv = \displaystyle\int^t_0 a \, dt$$ $$ v - v_0 = \displaystyle\int^t_0 bt \, dt = \dfrac{bt^2}{2}$$ $$v = v_0 +\dfrac{bt^2}{2}$$

Sabendo que $v = \dfrac{dx}{dt}$ e repetindo o argumento usado para a aceleração.

$$dx = v \, dt$$ $$\displaystyle\int^x_{x_0} dx = \displaystyle\int^t_{0}v \,dt$$ $$x - x_0 =  \displaystyle\int^t_{0} v_0 \, + \, \dfrac{bt^2}{2}\, dt = v_0t+\dfrac{bt^3}{6}$$ $$x = x_0 + v_0t + \dfrac{bt^3}{6}$$

com $x_0 = 0$, $v_0 = 0$ e $b = \frac{1}{2}$ têm-se as equações para a veelocidade e posicao da particula

• $x(t) = \dfrac{t^3}{12}$
• $v(t) = \dfrac{t^2}{4}$

Os gráficos de x(t) e v(t) são mostrados abaixo:

velocidade em função do tempo

posição em função do tempo

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/particula-inicialmente-repouso-origem-movese-durante-10s-linha-reta-aceleracao-23979) e no Brainly (https://brainly.com.br/tarefa/1835557).

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questao 5 resolvido

Questão 5

O gráfico da figura representa a marcação do velocímetro de um automóvel em função do tempo. Trace os gráficos correspondentes da aceleração e do espaço percorrido pelo automóvel em função do tempo. Qual é a aceleração média do automóvel entre t = 0 e t = 1min? E entre t = 2min e t = 3min ? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

 

gráfico velocidade em função do tempo
Fonte: Moyses Nussensveing

Solução:

Dados do problema:

• Gráfico da velocidade em função do tempo

A aceleração é dada por $a = \dfrac{dv}{dt}$, assim, basta fazer a equação da velocidade em função do tempo e derivar em relação ao tempo $t$. Como o gráfico mostra que a função de $v(t)$ é afim, ela pode ser escrita como $v(t) = b + at$, e a pode ser dado como $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$, com $\Delta v$ sendo a variação de velocidade e $\Delta t$ sendo o intervalo de tempo, lembrando de converter a velocidade de $km/h$ para $m/s$ e o tempo de minutos para segundos. Dessa forma:

• para $0 \leq t \leq 30 \, s$, $a = \dfrac{\dfrac{45}{3,6} - 0}{30} \approx 0,42 \, m/s^2$
• para $30 \leq t \leq 120 \, s$, $a = \dfrac{0}{90} = 0 \, m/s^2$
• para $120 \leq t \leq 150 \, s$, $a = \dfrac{0 - \dfrac{45}{3,6}}{30} \approx -0,42 \, m/s^2$
• para $150 \leq t \leq 180 \, s$, $a = \dfrac{0}{30} = 0 \, s$
• para $180 \leq t \leq 210 \, s$, $a = \dfrac{\dfrac{75}{3,6}-0}{30} \approx 0,69 \, m/s^2$
• para $210 \leq t \leq 270 \, s$, $a = \dfrac{0}{60} = 0 \, m/s^2$
• para $270 \leq t \leq 300 \, s$, $a = \dfrac{0-\dfrac{75}{3,6}}{30} \approx -0,69 \, m/s^2$

Assim, o gráfico da aceleração em função do tempo pode ser visto abaixo

Sabendo que a aceleração em função do tempo é constante, pode-se usar a equação horária do espaço, dada por $x =x_0\, +\,  v_0 \Delta t + \dfrac{a\Delta t^2}{2}$, com $x$ sendo a posição final da partícula, $x_0$ a posição inicial da partícula, que pode ser calculada usando o instante final do movimento anterior, $\Delta t$ a variação do tempo decorrido, $v_0$ a velocidade inicial do movimento, que pode ser obtida do gráfico.

• para $0 \leq t \leq 30 \, s$, $x = 0 \, + \, \dfrac{0,42\cdot t^2}{2}$
• para $30 \leq t \leq 120 \, s$, $x =187,5 \, + \, 12,5\left(t-30 \right)$
• para $120 \leq t \leq 150 \, s$, $x = 1312,5 \, + \, 12,5 \left(t-120 \right) \, + \, \dfrac{-0,42\cdot \left( t-120\right)^2}{2}$
• para $150 \leq t \leq 180 \, s$, $x = 1500$
• para $180 \leq t \leq 210 \, s$, $x = 1500 \, + \, \dfrac{0,69\cdot \left(t-180\right)^2}{2}$
• para $210 \leq t \leq 270 \, s$, $x = 1812,5 \, + \, 20,83 \left( t-210 \right)$
• para $270 \leq t \leq 300 \, s$, $x =3062.3 \, + \, 20,83 \left(t-270 \right) \, + \, \dfrac{-0,69\cdot \left( t-270\right)^2}{2}$

Usando essas equações, pode-se construir o gráfico da posição em função do tempo, como mostrado abaixo.

Para obter a aceleração media da particula entre $t=0$ e $t=1 \, min$ basta usar a equação $a_m = \dfrac{v_f-v_0}{\Delta t}$. O mesmo processo pode ser feito para $t=2 \, min$ e $t=3 \, min$, assim:

• com $0 \leq t \leq 1 \, min$, $a_m = \dfrac{\dfrac{45}{3,6} - 0}{60 - 0} \approx 0,21 \, m/s^2$
• com $2 \, min \leq t \leq 3 \, min$, $a_m = \dfrac{0-\dfrac{45}{3,6}}{180 - 120} \approx -0,21 \, m/s^2$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

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