Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 4 resolvido

Questão 4

As magnitudes de a e b são iguais. Qual é o angulo entre a + b e a - b?  (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Vetor genérico $\vec{a}$
• Vetor genérico $\vec{b}$
• $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

O cosseno do ângulo entre o vetor soma e o vetor subtração, denominado como $\theta$, pode ser obtido por meio da equação: $$cos(\theta) = \dfrac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a} - \vec{b}|}$$

Usando a propiedade distributiva do produto escalar, têm-se que: $$cos(\theta) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a} - \vec{b}|}$$

Sabendo que: $$ \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \ \ e \ \  \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 $$

Como $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ então: $$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$$

Da propriedade comutativa do produto escalar $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

Logo, $$cos(\theta) = 0 \Rightarrow \theta = 90 ^\circ$$

Assim, o ângulo entre o vetor $\vec{a} + \vec{b}$ e o vetor $\vec{a} - \vec{b}$ é $90 ^\circ$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/magnitudes-sao-iguais-angulo-23990) e no Passei Direto (https://www.passeidireto.com/arquivo/26144757/moyses-nussensveig-vol-1-resolucao/5).

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 3 resolvido

Questão 3

Mostre que a magnitude da soma de dois vetores a e b está sempre compreendida entre os limites $$||\vec{a}|-|\vec{b}|| \leq |\vec{a}+\vec{b}| \leq |\vec{a}|+|\vec{b}|$$
Em que situação são atingidos os valores extremos? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Vetor genérico $\vec{a}$
• Vetor genérico $\vec{b}$

Tendo como base que o ângulo entre os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ é $\theta$, o vetor soma $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$ respeita a equação: $$|\vec{s}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|  cos(\theta)$$

Isolando $cos(\theta)$: $$cos(\theta) = \dfrac{|\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$

Substituindo o $cos(\theta )$ em: $$-1 \leq cos(\theta) \leq 1$$ $$-1 \leq \dfrac{|\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|} \leq 1$$

O modulo de qualquer vetor é sempre positivo, logo, pode-se multiplicar toda a inequação por $2 |\vec{a}| |\vec{b}|$. Assim: $$ - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \leq |\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 \leq 2 |\vec{a}| |\vec{b}| $$

Somando $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$ em toda a inequação: $$|\vec{a}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| +|\vec{b}|^2 \leq |\vec{s}|^2 \leq |\vec{a}|^2+ 2 |\vec{a}| |\vec{b}| +|\vec{b}|^2$$

Substituindo os seguintes produtos notáveis: $$(|\vec{a}|-|\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| +|\vec{b}|^2 $$ $$(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| +|\vec{b}|^2 $$ Têm-se que: $$(|\vec{a}|-|\vec{b}|)^2 \leq |\vec{s}|^2 \leq (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2$$

Pode-se aplicar a raiz quadrada em todos os termos da equação, lembrando que $\sqrt{x^2} = |x|$ $$||\vec{a}|-|\vec{b}|| \leq ||\vec{s}|| \leq ||\vec{a}|+|\vec{b}||$$

Como a soma de dois termos maiores que 0 é sempre maior que zero, $||\vec{a}|+|\vec{b}|| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ e lembrado da definição de $\vec{s}$ como soma dos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$: $$||\vec{a}|-|\vec{b}|| \leq |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}|+|\vec{b}|$$

Com isso é possível notar que o modulo do vetor soma $\vec{s}$ possui dois extremos:

• Extremo máximo de $|\vec{s}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$
• Extremo mínimo de $|\vec{s}| = ||\vec{a}| + |\vec{b}||$ 

Substituindo o extremo máximo na equação:

$$cos(\theta) = \dfrac{|\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$ $$ cos(\theta) = \dfrac{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$ $$ cos(\theta) = \dfrac{2 |\vec{a}| |\vec{b}|}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|} =1$$ Assim,  $$\theta = 0 ^\circ$$

Ou seja, o vetor soma atinge seu valor máximo se os dois vetores tiverem mesma direção e sentido (orientações iguais).

Substituindo o extremo mínimo na equação: $$cos(\theta) = \dfrac{|\vec{s}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$ $$cos(\theta) = \dfrac{(|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|}$$ $$cos(\theta) = \dfrac{ - 2 |\vec{a}| |\vec{b}|}{ 2  |\vec{a}|  |\vec{b}|} = - 1$$ Assim, $$\theta = 180 ^\circ$$

Ou seja, o vetor soma atinge seu valor mínimo se os dois vetores tiverem mesma direção e com sentidos opostos (orientações opostas).

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 2 resolvido

Questão 2 

Um avião a jato voa para o norte, de Brasilia até Belém, a 1630 km de distância, levando 2h 10 min nesse percurso. De lá, segue para oeste, chegando a Manaus, distante 1290 km de Belém, após 1h 50 min de vôo. (a) Qual é o vetor deslocamento total do avião? (b) Qual é o vetor velocidade média do trajeto Brasilia - Belém? (c) Qual é o vetor velocidade média no trajeto Brasilia-Manaus? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Distância Brasilia - Belém: $1630 \, km$
• Tempo de percurso Brasilia - Belém: $2\, h \, 10 \, min = 2,1\overline 6$
• Distância Belém - Manaus: $1290 \, km$
• Tempo de percurso Belém - Manaus: $1\, h \, 50 \, min = 1,8\overline 3$

A disposição das cidades segue como na imagem:

O vetor deslocamento total do avião é a soma dos vetores deslocamento de Brasilia Belém, assim o modulo do vetor deslocamento total é obtido a partir do teorema de Pitagoras, sendo $\vec{a} \, , |\vec{a}| = 1630 \, km$ o deslocamento do avião de Brasilia até Belém, $\vec{b} \, , |\vec{b}| = 1290 \, km$ o deslocamento do avião de Belém até Manaus e $\vec{s}$ o deslocamento total do avião, assim: $$\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$$ $$|\vec{s}|^2 =|\vec{a}|^2 +|\vec{b}|^2$$ $$|\vec{s}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 +|\vec{b}|^2}$$ $$|\vec{s}| = \sqrt{4321000}$$ $$\textbf{a)} \, |\vec{s}|  = 2078,70 \, km$$

O ângulo entre o vetor $\vec{s}$ e o norte pode ser obtido por meio do arco tangente entre o modulo do vetor $\vec{b}$ e o modulo do vetor $\vec{a}$, assim: $$\theta = arctan \left( \dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\right)$$ $$\theta = 38,36 ^\circ \ em \ relação \ ao \ norte$$

O vetor velocidade média tem mesma direção e sentido do vetor deslocamento, o modulo do vetor velocidade média é obtido por meio da divisão entre o modulo do vetor deslocamento e o tempo decorrido, assim, sendo o vetor velocidade média no trajeto Brasilia - Belém como $\vec{v_{(b)}}$ e o vetor velocidade média no trajeto Brasilia - Manaus como $\vec{v_{(c)}}$.

Assim, $$\textbf{b)} \, |\vec{v_{(b)}}|= \dfrac{1690}{2,1\overline 6} = 752,31 \, \dfrac{km}{h} \\ \vec{v_{(b)}} : \ 0 ^\circ \ em \ relação \ ao \ norte$$  $$\textbf{c)} \, |\vec{v_{(c)}}|= \dfrac{2078,70}{2,1\overline 6 + 1,8 \overline 3} = 519,675 \, \dfrac{km}{h} \\ \vec{v_{(c)}} : \ 38,36 ^\circ \ em \ relação \ ao \ norte$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/aviao-jato-voa-norte-brasilia-ate-belem-1630-km-distancia-23989) e no Brainly (https://brainly.com.br/tarefa/3902474).

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 3 questão 1 resolvido

Questão 1

No problema do caçador e do macaco (Seç. 3.1), mostre analiticamente que a bala atinge o alvo, e calcule em que instante isso ocorre, para uma dada distância $d$ entre eles e altura $h$ do galho, sendo $v_{0}$ a velocidade inicial da bala. Interprete o resultado. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Altura $h$ do macaco
• Distancia $d$ do macaco
• Velocidade inicial da bala $v_0$
• Aceleração da gravidade $g$

Primeiro, deve-se descobrir em que instante a bala percorre a distância $d$. Sabendo que a bala descreve um movimento uniforme na horizontal com velocidade $v_0 \cdot cos(\theta)$ e que o instante em que a bala atinge o macaco é $t$, têm-se que: $$v_0 \cdot cos(\theta) \cdot t = d$$ $$t = \dfrac{d}{v_0 \cdot cos(\theta)}$$

Feito isso, deve-se descobrir a altura da bala $h_b$ no instante $t$. Sabe-se que a bala descreve um movimento uniformemente variado com aceleração $g$ para baixo, a altura da bala pode ser descrita por meio da equação horária da posição: $$h_b = 0 + v_0 \cdot sen(\theta) \cdot t - \dfrac{g \cdot t^2}{2}$$

Substituindo $t$ em $h_b$: $$h_b= d \cdot tg(\theta) - \dfrac{g\cdot d^2}{2\cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}$$

Em seguida, deve-se descobrir a que altura o macaco está. Sabendo que o macaco descreve um movimento uniformemente variado com aceleração $g$ para baixo, a altura do macaco pode ser descrita por meio da equação horária da posição, tomando $h_m$ como a altura do macaco no instante t: $$h_m = h - \dfrac{g \cdot t^2}{2}$$

Substituindo $t$ em $h_m$: $$h_m = h - \dfrac{g\cdot d^2}{2 \cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}$$

Para provar que a bala atinge o macaco no instante $t$ basta provar que a bala e o macaco estão na mesma posição, ou seja, que eles estão na mesma altura em relação ao atirador. Portanto, provar que a bala atinge o macaco implica na seguinte igualdade: $h_b=h_m$

Têm-se ainda a seguinte relação no triangulo retângulo formado entre a altura $h$ e a distância $d$

Usando o teorema de Pitagoras, têm-se que:$$c^2 = d^2 +h^2$$ $$c=\sqrt{d^2+h^2}$$

Usando as relações trigonométricas, têm-se que:

$$sen(\theta ) = \dfrac{h}{c} = \dfrac{h}{\sqrt{d^2+h^2}}$$

$$cos(\theta ) = \dfrac{d}{c} = \dfrac{d}{\sqrt{d^2+h^2}}$$

$$tg(\theta ) = \dfrac{h}{d}$$

Da ultima relação: $$h=d\cdot tg(\theta ) $$

Substituindo em $h_m$: $$h_m = d\cdot tg(\theta ) - \dfrac{g\cdot d^2}{2\cdot v_0^2 \cdot cos^2(\theta)}$$

Assim, $$h_m = h_b \Rightarrow a \ bala \ atinge \ o \ macaco$$

Para descobrir o instante em que a bala atinge o macaco, basta substituir $cos(\theta )$ em $t$ $$t = \dfrac{d}{v_0 \cdot cos(\theta)}$$ $$t = \dfrac{d}{v_0 \cdot  \dfrac{d}{\sqrt{d^2+h^2}}}$$ $$t = \dfrac{\sqrt{d^2+h^2}}{v_0}$$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/problema-macaco-cacador-secao-31-mostre-analiticamente-bala-atinge-alvo-23988) e no Forum PiR2 (https://pir2.forumeiros.com/t105539-terceiro-capitulo-fisica-1-moyses-nussenzveig).