Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questao 4 resolvido

Questão 4

Um avião a jato de grande porte precisa atingir a velocidade de 500 km/h para decolar, e tem uma aceleração de 4 m/s2. Quanto tempo ele leva para decolar e que distância percorre na pista até a decolagem? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução 

Dados do problema

• Velocidade final $v_f = 500 \, km/h = 500 \cdot \dfrac{1}{3,6} \, m/s^2$
• Velocidade inicial $v_0 = 0 \, m/s$
• Aceleração $a = 4 \, m/s^2$

Aplicando a equação de toricelli para se obter o deslocamento $\Delta x$

$v_f ^2= v_0^2 +2a \Delta x$

$\left( \dfrac{500}{3,6} \right)^2 = 0^2 + 2 \cdot 4 \cdot \Delta x$

$\Delta x = \left( \dfrac{500}{3,6} \right)^2 \dfrac{1}{8} \approx 2,411 \, km$

Tendo-se o deslocamento $\Delta x$, a velocidade inicial $v_0$, a velocidade final $v_f$, pode-se usar a equação horaria da posição para se encontrar o tempo decorrido para decolar $t$

$\Delta x = v_0t+\dfrac{at^2}{2}$

$\left( \dfrac{500}{3,6} \right)^2 \dfrac{1}{8} = \dfrac{4t^2}{2}$

$t=\sqrt{\left( \dfrac{500}{3,6} \right)^2 \dfrac{1}{16}}= \left( \dfrac{500}{3,6} \right) \dfrac{1}{4} \approx 34,72 \,s$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Nosso Exercicio (http://nossoexercicio.pet-ufvjm.org/exid/2258#:~:text=Um%20avi%C3%A3o%20a%20jato%20de,acelera%C3%A7%C3%A3o%20de%204m%2Fs2.) e no Brainly (https://brainly.com.br/tarefa/717482)

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questao 18 resolvido

Questão 18

A integral, com limite inferior $a$ fixo e limite inferior $x$ variável, define uma função de x,

$F(x) = \displaystyle\int^x_a f(x')dx'$

Mostre que

$\dfrac{dF}{dx}=f(x)$.

Assim, a integração pode ser considerada como operação inversa da derivação. Sugestão: Use a interpretação geométrica da integral. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução:

Dados do problema:

• $F(x) = \displaystyle\int^x_a f(x')dx'$

O gráfico de f(x) pode ser representado abaixo:

Assim, $F(x)$ representa a área abaixo de $f(x)$ de $a$ até $x$ e $F(x + \Delta x)$ representa a área abaixo de $f(x)$ de $a$ até $x+\Delta x$. Para $\Delta x$ tendendo a $0$ têm-se que $f(x) \approx f(x+\Delta x)$, assim a área abaixo de $f(x)$ se aproxima de um retângulo de base $\Delta x$ e altura $f(x)$. Essa mesma área pode ser representada em termos das integrais de f(x), ou seja, $F(x)$, de tal modo que:$$F(x+\Delta x) - F(x) \approx f(x) \cdot \Delta x$$

Assim, $f(x) \approx \dfrac{F(x+ \Delta x) -F(x)}{\Delta x}$, como $\Delta x$ aproxima de $0$, $f(x) = \underset{\Delta x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{F(x+ \Delta x) -F(x)}{\Delta x}$.

Dessa forma, $f(x) = \dfrac{dF(x)}{dx}$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde aí (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/integral-limite-inferior-fixo-limite-superior-variavel-define-funcao--23969)

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questão 17 resolvido

Questão 17

O gráfico da velocidade em função do tempo para uma partícula que parte da origem e se move ao longo do eixo Ox está representado na Fig.2.19.(a) Trace os gráficos da aceleração a(t) e da posição x(t) para $0 \leq t \leq 16 \, s$. (b) Quantos metros a partícula terá percorrido ao todo (para frente e para trás) no fim de 12 s? (c) Qual o valor de x nesse instante? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

velocidade em função do tempo

Solução:

Dados do problema:

• Velocidade inicial $v_0=0$
• Velocidade instantânea em 8 km: $v_1 = 12 \, m/s$
• Velocidade instantânea em 12 km: $v_2 = -12 \, m/s$

(a) Sabe-se que a aceleração é dada por $a=\dfrac{dx}{dt}$, assim, deve-se encontrar a equação da velocidade em função do tempo para os casos representados no gráfico e derivar a função.

Para o primeiro caso ($0 \leq t \leq 8 \, s$) têm-se que, $v=\dfrac{3}{2}t$, assim, $a = \dfrac{3}{2} \, m/s^2$

Para o segundo caso ($8 \leq t \leq 12 \, s$) têm-se que, $v=-6t$, assim, $a = -6 \, m/s^2$

Para o terceiro caso ($12 \leq t \leq 16 \, s$) têm-se que, $v=-12$, assim, $a = 0 \, m/s^2$

O gráfico da aceleração em função do tempo pode ser visto abaixo.

(b) O deslocamento $s$ pode ser obtido calculando abaixo do gráfico da velocidade em função do tempo.

Para $0 \leq t \leq 10$, $s_1 = Area \Rightarrow s_1 = \dfrac{10 \cdot 12}{2} = 60 \, m$

Para $10 \leq t \leq 12$, $s_2 = Area \Rightarrow s_2 = \dfrac{2 \cdot 12}{2} = 12 \, m$

Assim, a partícula percorreu $s_1+s_2 = 72 m$

(c) O valor de x é a posição atual da partícula. De $0 \leq t \leq 10 \, s$ a partícula percorre $s_1$ na direção de Ox. De $10 \leq t \leq 12 \, s$ a partícula percorre $s_2$ na direção oposta de Ox. Assim, $x = s_1 - s_2 = 48 \, m$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/grafico-velocidade-funcao-tempo-particula-parte-origem-move-longo-eixo-23974) e no Brainly (https://brainly.com.br/tarefa/1128810#:~:text=Respondido-,O%20gr%C3%A1fico%20de%20velocidade%20em%20fun%C3%A7%C3%A3o%20do%20tempo%20para%20uma,para%200%3Ct%3C16s.).

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questão 3 resolvido

Questão 3

Um motorista percorre 10km a 40km/h, os 10km seguintes a 80km/h mais 10km a 30km/h. Qual é a velocidade média do seu percurso? Compare-a com a média aritmética das velocidades. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução:

Dados do problema:

• Velocidade de 0 a 10 km: $v_1 = 40 km/h$
• Velocidade de 10 a 20 km: $v_2 = 80 km/h$
• Velocidade de 20 a 30 km: $v_3 = 30 km/h$

Um gráfico com as velocidades em função do deslocamento pode ser visto abaixo:

Sabe-se que $v=\dfrac{x}{t}$, assim, $t=\dfrac{x}{v}$, com $x$ sendo o deslocamento do móvel e $t$ sendo o tempo decorrido para o móvel percorrer a distancia $x$.

Considerando que de 0 a 10 km sendo a situação 1, 10 a 20 km sendo a situação 2, 20 a 30 km sendo a situação 3.

Assim,

1. $t_1 = \dfrac{10}{40} = 0,25\, h$
2. $t_2 = \dfrac{10}{80} = 0,125\,  h$
3. $t_3 = \dfrac{10}{30} = 0, \bar 3 \, h$

Dessa forma, têm-se que o tempo total $t_{total}=t_1+t_2+t_3 = \dfrac{17}{24}$ e que a velocidade média é dada por $v_m=\dfrac{x_{total}}{t_{total}}$, logo, $$v_m = \dfrac{30}{\frac{17}{24}}=\dfrac{720}{17} \approx 42,35 \, km/h $$

A media aritmetica das velocidades é $M = \dfrac{80+40+30}{3} = 50 \, km/h$

Comparando a velocidade média com a media aritmetica: $\dfrac{v_m}{M} \approx 0,85$, assim, $v_m = 0,85 M$.

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/celebre-corrida-lebre-tartaruga-velocidade-lebre-30-kmh-tartaruga-15mmin-23972) e no Brainly (https://brainly.com.br/tarefa/5561739).

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questão 2 resolvido

Questão 2

Um carro de corridas pode ser acelerado de 0 a 100km/h em 4s. Compare a aceleração média com a aceleração da gravidade. Se a aceleração é constante, que distância o carro percorre até atingir 100 km/h? (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução:

Dados do problema:

• Velocidade inicial $v_0 = 0 \, m/s$
• Velocidade final $v_f = 100 \, km/h = 100 \cdot \dfrac{1000 \, m}{3600 \, s}= \dfrac{100}{3,6} \, m/s$
• Tempo decorrido $\Delta t = 4 s$

Têm-se que a aceleração media é $a_m=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v_f-v_0}{\Delta t}$
Assim, $a_m \approx 6,94 \, m/s^2$.
Para comparar com a aceleração da gravidade basta fazer $\dfrac{a_m}{g} = \dfrac{6,9}{9,8} \approx 0,70$ e, por fim, $a_m = 0,70 g$.

Sabendo que a aceleração é constante pode-se afirmar que a aceleração instantânea $a$ é igual a aceleração media $a_m$, por tal motivo, pode-se usar a equação horária da posição:
$x=x_0+v_0t+\dfrac{at^2}{2} \, $, assim $x=\dfrac{100}{4 \cdot 3,6} \cdot \dfrac{4^2}{2} \approx 55,56 \, m$

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhante no Responde aí (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/carro-corridas-pode-ser-acelerado-100kmh-4s-compare-aceleracao-media-23977) e no Brainly (https://brainly.com.br/tarefa/2326130)

Fisica 1 Moyses vol 1 capítulo 2 questão 1 resolvido

Questão 1

Na célebre corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da lebre é de 30 km/h e a da tartaruga é de 1,5 m/min. A distância a percorrer é de 600 m, e a lebre corre durante 0,5 min antes de parar para uma soneca. Qual é a duração máxima da soneca para que a lebre não perca a corrida? Resolva analiticamente e graficamente. (Fonte: Moyses Nussenzveig, Vol.1)

Solução:

Dados do problema:

• velocidade da lebre $v_l = 30 \, km/h \, = \, 500 \, m/min$
• velocidade da tartaruga $v_t = 1,5 \, m/min$
• Distancia total $D\, = \, 600 \, m$

Sabe-se que $\Delta x = v\Delta t$ e que $\Delta t = \dfrac{\Delta x}{v}$
Distancia percorrida pela lebre antes da parada $d_l = 500 \cdot 0,5 \, = 250 \, m$

Distancia percorrida pela tartaruga antes da parada $d_t = 500 \cdot 0,5 \, = 250 \, m$

Distancia que falta para a lebre percorrer $D-d_l = 350 \, m$

Tempo para a lebre terminar a corrida $t_l\, = \, \dfrac{350}{500} = 0,7 \, min$

Distancia que falta para a tartaruga percorrer $D-d_t = 599,25 \, m$

Tempo para a tartaruga terminar a corrida $t_t\, = \, \dfrac{599,25}{1,5} = 399,5 \, min$

Tempo de soneca possível $\Delta t '=t_t - t_l = 398,8 \, min \approx 6 h 38 min 49 s$

Solução grafica:
Considerando $\Delta x = x - x_0 = v \Delta t$, têm-se que $x = x_0 +v \Delta t$. Assim pode-se considerar a tartaruga e a lebre com $x_0 = 600\, m$ e se deslocando com velocidades $-v_t$ e $-v_t$, respectivamente. Segue o gráfico deslocamento x por tempo $\Delta t$.

Referências:
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. Editora Blucher, 2018.

Conteudos semelhantes no Responde ai (https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/livro/exercicios/celebre-corrida-lebre-tartaruga-velocidade-lebre-30-kmh-tartaruga-15mmin-23972) e no Brainly (https://brainly.com.br/tarefa/4082740).